30 mayo, 2013

Una demostración formal corta de la conjetura de Goldbach



Reseña y nota: Dado que mi demostración “simple” publicada hace varios años fracasó en el intento de arraigarse en el imaginario colectivo, he vuelto para ofrecer una demostración más simple y más corta incluso. Es además lo que uno podría llamar una demostración formal, además de general. Esta demostración es equivalente en todos los sentidos a mi primera demostración, pero está desarrollada principalmente mediante ecuaciones, y dejo aparte todas las visualizaciones y la mayoría de los comentarios. Aunque sigo encontrando atractiva la primera demostración por su visualización, me avergonzó descubrir que tenía un par de erratas importantes, incluso tras todos estos años, erratas que bien podían crear confusión. He reescrito ese primer artículo para que se ajuste mejor a este, y para deshacerme de algunas de las partes poco claras que quedaban. Espero que los dos artículos juntos puedan facilitar la comprensión en alguna medida, porque aún creo que la solución es bastante simple.


En un artículo ligeramente más largo[por traducir], demostré la Conjetura de Goldbach usando densidades y una visualización. Dado que las densidades son sólo fracciones, esta demostración de la Conjetura de Goldbach se puede enunciar con fracciones simples.

[N. del T.: Traduzco aquí un poco del artículo anterior para que se comprenda. Si alguien lo pide, lo traduciré completo.]
------ Extracto del artículo anterior------
[…]
La Conjetura de Goldbach es que cualquier número par[mayor que 2] se puede expresar como la suma de dos números primos. Si esta conjetura es falsa, debe haber al menos un número par que no se pueda expresar como la suma de dos números primos. Mostraré aquí que eso es imposible, confirmando por lo tanto la Conjetura de Goldbach.
[…]
Podemos hacer una lista con todas las posibles sumas de cualquier número par. El número 22, por ejemplo:



Puedes ver inmediatamente que tenemos tres y sólo tres posibles combinaciones: primo + primo, primo + no primo, no primo + no primo. De ahora en adelante abreviaré primo por P y no primo por N.
Si la Conjetura de Goldbach es falsa, P + P no es una posibilidad, así que sólo nos quedan las sumas N + P y N + N
------- Fin del extracto del artículo anterior------


Sea: Por cada número par x, hay x/2 sumas, x términos, y x – 1 números en las sumas (la última suma es siempre un número repetido).

Dependiendo del x dado, nuestro número de sumas puede ser par o impar, así que desarrollaré demostraciones separadas para cada caso. Si nuestro número de sumas es par, x/4 de nuestras sumas serán sumas impar-impar.

En las sumas, no son los términos los que se emparejan, sino los números. Por lo tanto debemos expresar la cantidad de números primos y de números no primos en relación a los números, no a los términos. Esto es importante.

Sea y la cantidad de números primos menores que x.
Sea a la cantidad de números primos menores que x, como fracción de los números menores que x.
a = y/(x – 1)
Sea b la cantidad de números no primos impares menores que x, como fracción de los números menores que x.
b = [ (x/2) – y ] / (x - 1)

Si la Conjetura de Goldbach es falsa, entonces ningún primo se emparejará con un primo. Esto significa que cada número primo se emparejará con un número no primo impar (NPO) en las sumas. El resto de NPOs se deberán emparejar entre ellos, en cuyo caso nuestro número de sumas NPO-NPO como fracción de las sumas impares se representará por 
[ (x/4) – y]/(x/4), ó 
1 - (4y/x)

Ten en cuenta que si no tenemos sumas P-P, nuestras sumas NPO-NPO deben estar en un mínimo. La mayor cantidad posible de NPOs convergerá a la de Ps (ayuda echar un vistazo a algunas tablas reales para tener una mejor idea de esto). Dado que a y b son constantes para cada x, si creamos otra suma NPO-NPO, debemos crear una suma P-P. Para crear otra suma NPO-NPO, debemos descubrir un P.

Ahora, nuestra fracción de NPOs es de hecho [(x/2) – y] /(x – 1), como he mostrado. Si restamos la fracción de primos (los que están cubiertos por NPOs), así:

{[(x/2) – y] /(x – 1)} – [y/(x – 1)] = [(x/2) – 2y] /(x – 1)

Y multiplicamos por 2 para indicar el emparejamiento de dos números en una suma, así:

2[(x/2) – 2y] /(x – 1) =
(x – 4y) /(x – 1) =
[1 – (4y/x)] /[1 – (1/x)]

Descubrimos que nuestra fracción de emparejamientos NPO-NPO debería ser [1 – (4y/x)] /[1 – (1/x)], en lugar de 1 – (4y/x)

Pero [1 – (4y/x)] /[1 – (1/x)] > 1 – (4y/x)

Por lo tanto, el término 1 – (4y/x) no está permitido. No se permite por esta razón:

De nuevo, la creación de una suma P-P creará más sumas NPO-NPO; así que cuando se prohibe P-P, la fracción de sumas NPO-NPO estará en un mínimo.

Por lo tanto, la mínim fracción de sumas NPO-NPO para cualesquiera valores dados de x e y es 1 – (4y/x)] /[1 – (1/x)]. 1 – (4y/x) es menor que el mínimo, y por lo tanto no está permitido matemáticamente.

Como el número de sumas debe ser un número entero, la fracción mínima de sumas NPO-NPO para cualquier valor dado de x e y no puede ser [(x/4) – y]/(x/4). Para satisfacer nuestro mínimo, debe ser [(x/4) – y + 1]/(x/4). Date cuenta del +1. Debemos añadir una suma NPO-NPO para satisfacer nuestro mínimo calculado.

Como a y b son constantes, y no pueden cambiar para un x dado, no puedes crear otra suma NPO-NPO sin crear también una suma P-P. Se nos acaba de obligar a crear una suma P-P.

Esta demostración funciona para todos los valores de x e y, no importa lo pequeña que se vuelva la fracción y/x. Funciona para todas las densidades de números primos.

Esto demuestra la Conjetura de Goldbach para números pares con un número par de sumas.


Esta solución simple es posible por el hecho de que la última suma siempre está compuesta por un número que se repite. Como puedes ver, esto significa que tenemos un número menos en nuestras tablas de los términos que tenemos, sesgando las fracciones hacia arriba. Como nuestras fracciones de números son ligeramente mayores que nuestras fracciones de términos, nuestros mínimos de parejas se ven afectados. Las simples matemáticas nos muestran que para ajustarse a ese nuevo mínimo, debemos añadir 1 al mínimo de términos. Y si hacemos eso, debemos crear una pareja de primos. Si te pierdes en las matemáticas, recuerda que todo lo provoca la desigualdad entre números y términos


Si nuestro número de sumas es impar, (x + 2)/4 de nuestras sumas serán sumas impar-impar.

a = y/(x – 1)
b = {(x + 2)/2] – y} /(x – 1)

Si la Conjetura de Goldbach es falsa, entonces ningún número primo se emparejará con un número primo. Esto significa que cada número primo se emparejará con un número no primo impar (NPO) en las sumas, en cuyo caso, nuestra cantidad de sumas NPO-NPO como fracción de la cantidad de sumas se representa por:

{[(x + 2)/4] – y}/[(x + 2)/4] ó
(x + 2 – 4y)/(x + 2)

Pero nuestra fracción de NPOs es {(x + 2)/2]– y}/(x – 1). Si restamos la fracción de números primos (los cubiertos por NPOs), así:

{[(x + 2)/2] – y} /(x – 1)} – [y/(x – 1)] =
{[(x + 2)/2] – 2y} /(x – 1)

Y multiplicamos por 2 para indicar el emparejamiento de dos números en una suma, así:

2{[(x + 2)/2] – 2y} /(x – 1) = 
(x + 2 – 4y) /(x – 1)

Encontramos que

(x + 2 – 4y) /(x – 1) > (x + 2 – 4 y)/(x + 2)

Por lo tanto, el término (x + 2 – 4 y)/(x + 2) no está permitido

Esto demuestra la Conjetura de Goldbach para números pares con un número impar de sumas.


Traducción de Roberto Conde.