25 julio, 2013

Comentarios preliminares sobre Cantor







La topología comete el mismo error que el cálculo asumiendo que una línea matemática en R² representa un subespacio unidimensional. Pero una línea matemática no es equivalente a una línea física. Una línea física es un subespacio unidimensional. Una línea matemática es un subespacio tridimensional. En mi artículo sobre el cálculo he mostrado que una línea matemática en R² representa una velocidad, que no es un subespacio unidimensional. En R³ una línea representa una aceleración. En R⁴ una línea representa un cition (Δa). Dado que una velocidad es una cantidad tridimensional—que requiere las dimensiones y y t, por ejemplo, más un cambio (un cambio o Δ siempre añade una dimensión a cualquier representación de un campo)—se sigue que una línea en Rn representa un subespacio (n+1)-dimensional.



El error que subyace a ambos campos nos lleva atrás en el tiempo hasta Euclides. Los griegos no supieron diferenciar entre una línea matemática y una línea física. Por lo tanto, cuando Arquímedes empezó a resolver el área bajo una curva, tomó por error esas curvas como representaciones directas de curvas físicas. No lo son. A lo largo de la historia de las matemáticas ha habido confución sobre este tema. Descartes añadió confusión con su sistema de coordenadas, que tampoco dejaba claro que los puntos en las gráficas no eran puntos en el espacio.





He visto muchas demostraciones del teorema de Cantor de que los números irracionales (o los números reales) son incontables, y ninguna es convincente en absoluto. Todas elaboran algún tipo de relación uno a uno entre los enteros y los irracionales, y luego muestran que se pueden crear nuevos irracionales en un intervalo dado. Pero la lógica de estas demostraciones es muy defectuosa. Se nos muestra una gráfica como esta:



1 ...a11a12a13a14...

2 ...a21a22a23a24...
3 ...a31a32a33a34...
4 ...a41a42a43a44...


La primera línea es un irracional, con cada "a" representando un dígito. Luego asumimos que tenemos una tabla completa de enteros hasta el infinito, y solapamos esa tabla en esta. Eso nos da un conjunto enumerado hasta el infinito. Luego simplemente hallamos un nuevo irracional. Esto se supone que es una demostración de que el conjunto de los irracionales es mayor que el conjunto de los enteros, así como de que el conjunto de los irracionales no es contable.



Pero no podemos "contar" irracionales en orden, como hacemos con los enteros. Ten en cuenta que para empezar no hay manera de que puedas hacer una tabla como esta, porque no podrías elegir nunca un primer irracional después del cero. Ese primer irracional de la tabla tiene un número infinito de "aes" en él. Y sea cual sea el primer "irracional" que elijas, puedo elegir uno más pequeño.



Esto no demuestra que los irracionales tengan un infinito de un grado más alto, sino que demuestra que los métodos de Cantor son incorrectos. Contar requiere una operación, y la operación de contar enteros no puede ser análoga a la de contar irracionales. Si estuvieras contando irracionales desde el 0 al 1, no empezarías en el más pequeño y contarías hasta el 1. Eso sería absurdo. No hay un "número más pequeño", para empezar. Y dado que son continuos, no puedes encontrar el "siguiente", jamás. Para contarlos, tendrías que empezar con un encuadre o foco, y proceder luego con un foco cada vez más fino. El primer foco es arbitrario, digamos, todos los irracionales mayores que 1/1000. Luego te abres camino infinitamente hacia abajo. A medida que los cuentas, tomas enteros más y más grandes, pero tus irracionales no se hacen más y más grandes. Ni tienen ningún grado en absoluto, en un sentido de mayor o menor grado. El único grado que tienen es el de tu encuadre.



El primer hecho operacional aquí es que no importa cuántos irracionales tengas para contar, siempre tendrás un entero disponible para contarlo con él. Siempre. Por lo tanto, la afirmación de que hay más irracionales o reales que enteros o racionales no tiene sentido.



Los defensores de Cantor contestarán que esta tabla no necesita tener ningún orden. Puede ser una tabla aleatoria. Es decir, a11 puede ser mayor o menor que a12 o a42. Y la línea 2 puede ser un irracional mayor o menor que la línea 1 o la línea 3. Pero eso da igual, porque ya sea aleatoria o en serie, la tabla nunca se puede postular que sea completa. Este hecho no es una demostración de que el intervalo sea invontable. Es una demostración de las premisas de Cantor son falsas.



Cantor empieza asumiendo que los irracionales son contables, y luego procede con una demostración por reducción al absurdo. Lo que quiere decir que muestra que su premisa inicial no puede ser cierta. Pero procede asignando falsos corolarios a la premisa de la contabilidad. De este modo, ha creado un hombre de paja. Con esto quiero decir que procede de esta forma:





  1. Imagina una persona que cree que los irracionales son contables. Llamemos a esta creencia [x].
  2. Esta persona tendrá que creer también [y], porque [y] es una consecuencia lógica de [x].
  3. [y] es falso, por lo tanto [x] es falso, por lo tanto esa persona está equivocada.


Cantor ha creado un hombre de paja si se puede mostrar que ha manipulado el argumento 2. Si puedo mostrar que [y] no es una consecuencia de [x], puedo mostrar que Cantor ha creado una persona imaginaria con creencias imaginarias contra las que argumentar, y que su argumento es por lo tanto una fantasía. No ha creado una demostración, ha creado un hombre de paja y una discusión grandilocuente.



Eso es lo que haré. El método diagonal (generar el nuevo número irracional) es defectuoso porque se basa en la premisa de que, "Si los irracionales fueran contables, podríamos enumerar todos los irracionales en una secuencia. Entonces tenemos una secuencia que enumera un intervalo dado al quitar todos los irracionales que están fuera de este intervalo"* Esta es la creencia que Cantor asigna a su hombre de paja. Es la sentencia [y]. Pero no es cierta. Una persona que creyera que los irracionales fueran contables no tiene que creer en ella en absoluto. Ninguna de esas definiciones tiene ningún sentido salvo en el infinito. Es decir, deberíamos esperar ser capaces de enumerar todos los irracionales en una secuencia sólo si estuviéramos en el infinito. Pero no estamos en el infinito, por lo tanto no deberíamos esperar ser capaces de enumerarlos—ya sean contables o no. Aquí, la definición de "intervalo" también tiene sentido sólo en el infinito. No tendremos un intervalo hasta que alcancemos el infinito. El intervalo de cualquier conjunto de irracionales o reales está indefinido en cualquier número menor al infinito.



Cantor es culpable por lo tanto no solo de crear conexiones innecesarias, sino también de una contradicción. La contabilidad o la enumeración son acciones reales de un matemático. Por lo tanto no pueden tener lugar en el infinito. Contar es como la suma o la resta. Es una acción definida a lo largo de un intervalo definido. Pero Cantor asume que contar es un método tanto infinito como finito. Se imagina un conjunto infinito tanto en el proceso de ser contado como de haber sido completamente contado. Es como Zenón imaginándose que la flecha está a la vez detenida y en marcha. Pero no puedes imaginar o postular un conjunto infinito completamente contado. Ni puedes decir que tu hombre de paja imagina o postula que un conjunto infinito se puede contar completamente.



Cantor dice, "Mi hombre de paja, que cree que los irracionales se pueden contar, también cree que un intervalo infinito puede ser enumerado. Por lo tanto está equivocado y los irracionales no se pueden contar." Es de las demostraciones más pobres y fraudulentas de la historia.



Más allá de esto, el método de la diagonal se puede mostrar que es incorrecto de otras formas. Cantor afirma que el método de la diagonal proporciona un número que no está en ninguna de las series dadas. Por lo tanto el conjunto no es sólo infinito, sino que no es enumerable. Pero resulta que el método de la diagonal se puede usar para demostrar que los conjuntos finitos tampoco son enumerables. Se puede usar para demostrar que conjuntos nombrables son enumerables. Se puede usar para mostrar que los conjuntos que Cantor acaba de demostrar que son contables y enumerables, no son enumerables. El método de la diagonal (también llamado el método bitnot en matemática binaria) es una herramienta fraudulenta. La situación que acabo de describir no es otra paradoja. Es una explicación incorrecta. El método de la diagonal no genera una cadena de números que no está en el conjunto. El método de la diagonal genera una cadena de número que no está en el conjunto parcial que se ha escrito y diagonalizado. Kevin Delaney ha mostrado que la cadena generada simplemente aparece después en la lista finita o infinita, algún lugar más allá de la lista parcial diagonalizada. Esto demuestra la falsedad de la demostración de Cantor una vez más.

*Wikipedia



Cantor también afirma que los irracionales son infinitamente más densos que los racionales. Pero los racionales ya son infinitamente densos. No puedes ser más denso que algo continuo. No puedes ser más denso que infinitamente denso. Los racionales, por sí mismos, son continuos. No hay espacio entre ellos en la recta numérica. No puedes ser más denso que eso. Podrías preguntar, si los racionales ya son continuos, ¿Cómo puedes añadir irracionales? ¿Dónde los pones en la recta numérica? La respuesta es que no encajan de esa forma. Los números y las rectas numéricas son abstracciones. No "añades" los irracionales a los racionales, como se suman tres naranjas a dos naranjas. Los racionales y los irracionales son relaciones entre números—por lo tanto no son el mismo grado de abstracción que los números en sí mismos. Además, en el infinito, los irracionales y los racionales son la misma cosa. Del mismo modo que 0,999... es lo mismo que 1 en el infinito, la distancia entre un racional y un irracional se hace cero en el infinito. No hay distancia entre 0,999... y 1—eso es lo que significa una recta numérica continua.  Funciona del mismo modo con los racionales y los irracionales. No necesitas encontrar hueco para los irracionales en una recta numérica racional infinitamente densa. En el infinito, unos y otros se superponen, del mismo modo que 0,999... y 1 se superponen.


Esto significa que no hay tal cosa como un conjunto incontable.



Esto también afecta a la "completitud" de un campo ordenado. En topología, se cree que el conjunto de los reales es completo y el de los racionales no. Pero de acuerdo con mi lógica, tanto los racionales como los irracionales son completos. Podrías decir, ¿Y √2? No hay un número racional en ese punto de la recta, por lo tanto la recta de números racionales debe tener espacio para ese punto. Debería decir que los irracionales deben tener un espacio en 1, dado que 1 no es irracional. Pero los irracionales no tienen espacio en 1, porque 0,999... rellena ese hueco. Podrías decir que estoy implicando que los racionales y los irracionales tienen la misma densidad en la recta numérica, que hay una correspondencia uno a uno entre ellos. Si tienen la misma densidad infinita, entonces se deben solapar igualmente en el infinito, cada racional fundiéndose con un irracional. Sí, eso es lo que estoy diciendo.



El problema de los irracionales es que son difíciles de manejar. No están organizados. No son convenientes para nuestras ecuaciones. Pero recuerda que la mayoría de los racionales tampoco son manejables. La mayoría de los racionales son enormes, y serían exactamente igual de inconvenientes para nosotros que los irracionales. Un racional supergigante está tan lejos de nuestro uso meticuloso como un irracional. A medida que los racionales y los irracionales se acercan al infinito, por lo tanto, ambos se acercan a una desorganización infinita. En el infinito, un racional es irracional. Es un cociente infinito entonces, que es tan desorganizado como un punto decimal infinito. La única diferencia es que los irracionales muestran una desorganización infinita en las vecindades del cero. Mientras que los racionales son infinitamente desorganizados sólo en + / - infinito. Cerca del cero, los racionales son organizados.



Lo extraño es que el mundo real, siendo continuo, es como la recta numérica en el infinito. El mundo real es la existencia en el infinito. La pulcra recta numérica cerca del cero—compuesta de los números enteros y los racionales más pequeños—es la abstracción, porque es una simplificación. Es una burda simplificación de la realidad. Habitualmente calculamos usando estos organizados números, alejados del infinito. Pero vivimos en un infinito matemático.



No quiero que esto suene esotérico o avant garde. No estoy sugiriendo ningún tipo de misticismo. Simplemente estoy comentando que una premisa de continuidad física es equivalente en muchos sentidos a la presunción de que la realidad es la recta numérica en el infinito. Es decir, todos los números infinito, racionales, irracionales, reales, etc. están en juego. Existen simultáneamente en la recta numérica abstracta, ya sea solapados, o ya sea emparejados uno a uno.



Algunos dirán que la mecánica cuántica es la premisa de la no-continuidad, y por lo tanto mi premisa de continuidad es iconoclasta. Pero la mecánica cuántica, entendida correctamente, es la premisa de la no-continuidad en solo una cosa—la energía de los estados de las partículas subatómicas. Extrapolar de eso a la no-continuidad universal o matemática es dar un salto de lógica enorme. Es como decir que como tengo que subir escaleras a mi piso (y cada escalón tiene una altura determinada) el espacio entre los escalones no existe. Es como decir, "La altura del escalón es 10cm, por lo tanto no podemos imaginar ninguna altura menor de 10cm. Una persona puede estar por lo tanto en un escalón o en otro; no puede imaginarse jamás que esté entre escalones o en ninguna altura intermedia."



En mi opinión, los descubrimientos a largo plazo de la electrodinámica cuántica demuestran justo lo contrario. El continuo descubrimiento de nuevas subpartículas parece implicar que donde sea y cuando sea que busquemos subpartículas o subdivisiones, las encontraremos.



En cualquier caso, la distinción entre finito e infinito me parece una distinción definitiva entre medida y realidad. La realidad es infinita. La medida es finita. El valor 0,999... es igual a 1 sólo en el infinito. Por lo tanto, al tomar una medida o al resolver un problema por el método que sea, debemos encontrar un error. Al medir, 0,999... nunca es igual a 1. Aunque vivamos en el infinito, no podemos calcular en el infinito. Lo que esto quiere decir es que los cuerpos reales de hecho convergen al límite. Alcanzan el límite. Aquiles sobrepasa a la tortuga, etc. Pero las expresiones matemáticas son significantes abstractos de movimientos físicos, no son los movimientos en sí mismos. He mostrado en otros sitios que es lógicamente imposible poner en una gráfica un punto físico [véase mi artículo sobre el cálculo]. Esto por sí mismo demuestra que las matemáticas no pueden expresar completamente el movimiento. Puede expresarlo parcialmente, con un resto. Con un margen de error. Un término matemático que expresa el movimiento de un cuerpo es una entidad de tipo lógicamente diferente que el cuerpo en sí mismo. El cuerpo alcanza el límite. El término, sin embargo, no.



Matemáticamente esta divergencia se puede expresar. No puedes graficar un punto porque un punto real y su expresión matemática son siempre sistema separados. Una curva matemática es una aceleración física. Una recta matemática es una velocidad física. Un punto matemático es una distancia física. No queda nada para representar matemáticamente un punto físico, como veis. Si la expresión matemática está en el campo Rn, entonces la realidad está siempre en el campo Rn-1.



Finalmente, haré un breve comentario de la paradoja llamada el Hotel de HIlbert, pues ha recibido bastante atención últimamente. Hilbert se imagina un hotel con habitaciones infinitas. Una noche, se descubre que el hotel está lleno. Hilbert pregunta entonces, "¿Y si llega alguien a la recepción, pidiendo una habitación?"¿Qué hacemos? Esta paradoja se ha usado para justificar varios tipos de matemáticas transfinitas. Se han hecho montañas de comentarios sobre las implicaciones de esta paradoja. Sin embargo, se puede despachar con un comentario. Si el hotel infinito está lleno, nadie puede venir a pedir una habitación. Ya están todos dentro del hotel. Es una contradicción imaginar que puedes añadir uno al infinito en primer lugar. ¿De dónde vino ese uno? ¿Cómo es posible para una cantidad estar fuera de la recta numérica? La directa y sencilla respuesta es que no es posible. No puedes sumar uno al infinito, porque un conjunto infinito es un conjunto completo. Un conjunto infinito es completo en el mayor sentido, queriendo decir que no existe nada fuera de ese conjunto. Si tienes un conjunto infinito de personas, entonces todas están en ese conjunto. No puedes postular otra persona. El Hotel de Hilbert no es una paradoja, es un error lógico muy fuerte, desde el primer párrafo. Se basa en el mismo terrible error que subyace a todas las matemáticas transfinitas. El error es creer que la palabra "transfinita" puede significar algo. Lo que significa en la práctica es "transinfinita". Los matemáticos creen que puede existir algo más allá del infinito.



Si aceptas sumar 1 al infinito, significa entonces que para empezar no entiendes el infinito. Todas las matemáticas que tienen lugar en el transinfinito es sencillamente falsa. Ten en cuenta que no digo que no tenga base física, o que sea mística, o avant garde, o algún otro adjetivo a medio camino. Es falsa. Es incorrecta. Es un horrible, terrible error, uno que es muy difícil de comprender. Es una prueba más de que las matemáticas y la física moderna han seguido el camino del arte moderno, la música y la arquitectura. Sólo puede explicarse como una patología cultural, una en la que los autodeclarados intelectuales exhiben los síntomas más transparentes de negligencia racional. Son extravagantemente irracionales, y no les preocupa serlo. Están orgullosos de ser irracionales. Creen—debido a una malinterpretación de Nietzsche quizás—que la irracionalidad es la compañera de la creatividad. O que es un reemplazo, un sustituto. Por lo tanto una paradoja se transforma en un honor. Una medalla al valor. Una valiente aceptación de la negativa de la Natura a ser coherente (como podría haber dicho Feynman). Si sobrevivimos de algún modo a esta patología cultural, el futuro mirará hacia atrás a nuestra época con horror y asombro. ¿Cómo llegamos siquiera a unos niveles tan fantásticos de farsa y negación intelectual, especialmente en un siglo impregnado de las advertencias de Freud de tener cuidado de exactamente esta enfermedad?


Original en milesmathis.com

Traducido por Roberto Conde