26 julio, 2013

Una redefinición de la derivada (Introducción)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.

N. del T. Este es el primero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
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Por Miles Mathis.


Una nota sobre mis artículos sobre el cálculo[por traducir].

Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].


Introducción


En este artículo demostraré que tanto la invención del cálculo usando series infinitas como su consiguientes interpretación usando límites fueron errores al analizar los problemas dados. De hecho, como mostraré, ambas se basaron en el mismo error de concepto: aplicar diferenciales decrecientes a una curva matemática (una curva dibujada en una gráfica). De esta manera evitaré y falsaré definitivamente tanto el análisis estándar como el no estándar.

El avispero de errores históricos que voy a agitar aquí no es sólo un avispero de semántica, metafísica, o métodos o definiciones fallidos. Es también un error encontrando soluciones. He usado ya mis correcciones a la teoría para mostrar que varias demostraciones[por traducir] son erróneas. Más aún, mi mejor comprensión del cálculo me ha permitido mostrar que se hace un uso erróneo del cálculo en problemas físicos simples[por traducir], llegando a respuestas incorrectas.
     
Redefiniendo la derivada, también socavaré las premisas básicas de todas las topologías actuales, incluyendo la topología simpléctica—que depende de la definición tradicional en su uso de puntos en un espacio de fase. Del mismo modo, el álgebra lineal y el álgebra vectorial y el cáculo tensorial se verán afectados en sus bases por mi redefinicióń, puesto que las matemáticas actuales se revelarán como representaciones imprecisas de varios espacios o campos que esperaban expresar. Todas las representaciones de espacios vectoriales, sean abstractas o físicas, reales o complejas, compuestas de cualquier combinación de escalares, vectores, cuaterniones o tensores, se verán afectadas, porque mostraré que todos los espacios matemáticos basados en Euclides, Newton, Cauchy, y la definición actual del punto, la línea, y la derivada están necesariamente al menos una dimensión más lejos del espacio físico. Lo que quiere decir que las variables o funciones en todas las matemáticas actuales están interactuando en espacios que son espacios matemáticos, y esos espacios matemáticos no representan (ninguno de ellos) el espacio físico.

Esto no es una disputa filosófica por mi parte. Mi tesis no es que haya alguna desconexión metafísica entre las matemáticas y la realidad. Mi tesis, probada matemáticamente más abajo, es que las definiciones históricas y aceptadas actualmente de los puntos, líneas y derivadas matemáticas son todas falsas por la misma razón básica, y que esto falsa cada espacio matemático. Corrijo las definiciones, sin embargo, lo que permite la corrección del cálculo, la topología, el álgebra lineal y vectorial, y el tensorial (entre otras muchas cosas). De esta forma el problema se resuelve de una vez por todas, y no hay necesidad de hablar de metafísica, formalismos u otros esoterismos.

De hecho, soluciono el problema de la forma más simple, sin recurrir a ninguno de los sistemas matemáticos que critico. No necesitaré ninguna matemática más allá del elemental análisis numérico, la geometría básica y la simple lógica. Lo hago deliberadamente, porque la naturaleza fundamental del problema, y su estatus del problema más antiguo de las matemáticas, lo han hecho insensible a análisis más abstractos. El problema no sólo ha desafiado ser resuelto; ha desafiado ser detectado. Por lo tanto un análisis de las bases se debe realizar desde abajo: cualquier uso de matemáticas más avanzadas estaría asumiendo que no existe el problema. Esto tiene el beneficio añadido de hacer este artículo comprensible para cualquier lector paciente. Cualquiera que haya recibido clases de cálculo (incluso aquellos que suspendieran) podrán seguir mis argumentos. Puede que los matemáticos profesionales encuentren esto molesto por varias razones, pero se les pide coresía. Porque ellos también pueden descubrir que un análisis diferente a un ritmo diferente en un "lenguaje" diferente llevará a nuevos y útiles resultados matemáticos.
     
El producto final de mi prueba será una rederivación de la ecuacuón nuclear del cálculo diferencial, mediante un método que no usa series infinitas ni el concepto de límite. No rederivaré la integral en este artículo, pero el nuevo algoritmo que proporciono aquí hace fácil rederivarla, y nadie tendrá dudas de que el cálculo al completo ha sido reestablecido sobre un suelo más firme.

Puede ser también de intereses para muchos que mi método me permite mostrar, de la forma más simple, por qué el cálculo umbral siempre ha funcionado. Se han hecho muchos trabajos formales sobre el cálculo umbral desde 1970; pero, aunque las diversas ecuaciones y técnicas del cálculo umbral se han  conectado y extendido, no se han fundamentado nunca hasta ahora completamente. Mi reinvención y reinterpretación del cálculo de diferencias finitas me permite mostrar—al levantar una simple cortina— por qué los subíndices actúan exactamente como los exponentes en muchas situaciones.

Finalmente, y quizás lo más importante, mi reinvención y reinterpretación del cálculo de diferencias finitas me permite resolver muchos de los problemas sobre partículas de la electrodinámica cuántica[QED, de sus siglas en inglés Quantum Electro-Dynamics] sin usar la renormalización. Mostraré que las ecuaciones de la QED necesitaron la renormalización únicamente porque primero fueron "desnormalizadas" por las matemáticas actuales, todas ellas basadas en lo que yo llamo el cálculo infinito. La interpretación actual del cálculo permite el cálculo de velocidades y aceleraciones instantáneas, y esto está causado tanto por permitir a las funciones aplicarse a puntos como por usar series infinitas para aproximar puntos analizando la curva. Volviendo al cálculo de diferencias finitas—y desterrando al punto de las matemáticas aplicadas—he señalado el camino para limpiar la QED en este artículo. Haciendo de cada variable o función un intervalo definido, redefinimos cada campo y espacio, y haciendo esto dejamos de lado la necesidad de la mayor parte o todas las renormalizaciones. También nos deshacemos de la principal razón de ser de la teoría de cuerdas.

El cálculo de Newton evolucionó a partir de gráficas que él mismo hacía partiendo de sus series de potencias, basadas en el teorema o expansión del binomio. La expansión del binomio era una serie infinita de un diferencial complejo, usando un método fijo. Al intentar expresar la curva como una serie infinita, estaba siguiendo la línea principal de razonamiento en los algoritmos que precedieron al cálculo, remontándose a la Grecia antigua. Más recientemente Descartes y Wallis atacaron los dos principales problemas del cálculo—la tangente de la curva y el área de la cuadratura—de forma análoga, y el método de Newton fue una consecuencia directa de sus lecturas de esos artículos. Todos esos matemáticos estaban siguiendo el ejemplo de Arquímedes, que resolvió muchos de los problemas del cálculo 1900 años antes con un método similar basado en la suma o el agotamiento de series infinitas. Sin embargo, Arquímedes nunca derivó ninguna de las ecuaciones nucleares del cálculo correctamente, estando la principal de ellas en este artículo, y' = nxn-1.

Esta ecuación fue derivada por Leibniz y Newton casi a la misma vez, si creemos en sus propias declaraciones. Sus métodos, aunque ligeramente diferentes en forma, eran casi equivalentes en teoría, ambos basados en series infinitas y diferenciales que tendían a cero. Leibniz nos dice él mismo que la solución al cálculo se le ocurrió mientras estudiaba el triángulo diferencial de Pascal. Para resolver el problema de la tangente, este triángulo debe hacerse más y más pequeño.

Tanto Newton como Leibniz sabían la respuesta al problema de la tangente antes de empezar, puesto que el problema fue resuelto mucho antes por Arquímdes usando el paralelogramo de velocidades. A partir de este paralelogramo vino la idea de la velocidad instantánea, y los matemáticos del siglo XVII, especialmente Torricelli y Roberval, ciertamente heredaron su creencia en la velocidad instantánea de los griegos. Los griegos, empezando por los peripatéticos, habían asumido que un punto en una curva podría actuar como un punto en el espacio. Por lo tanto se podía representar como si tuviera una velocidad. Cuando Newton usó el cálculo casi dos milenios después para encontrar una velocidad instantánea—asignándole la derivada—simplemente estaba siguiendo el ejemplo de los griegos.

Sin embargo, los griegos parecían haber entendido que sus herramientas analíticas eran inferiores a sus métodos sintéticos, e incluso muchos matemáticos posteriores (como Wallis y Torricelli) creían que ellos mismos habían ocultado esas herramientas. Sea esto cierto o no, lo que es seguro es que los griegos nunca sistematizaron ningún método basado en series infinitas, infinitesimales, o límietes. Como  prueba este artículo, acertaron en no hacerlo. La premisa de que el punto de una curva se puede tratar como un punto del espacio no es correcta, y la aplicación de cualquier serie infinita a una curva es por lo tanto una imposibilidad. Cuando se deriva y analiza correctamente, la ecuación de la derivada no puede proporcionar una velocidad instantánea, puesto que la curva siempre presupone un intervalo que no puede tender a cero; un subintervalo que es, finalmente, siempre uno.


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