26 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (V)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el sexto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"


Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].

Parte CincoDemostración


Ahora, veamos lo que nos dice el valor actual de la derivada, de acuerdo con mi tabla. Si tenemos una ecuación de una curva, digamos

Δt = Δx3

Entonces la derivada es

Δt' = 3Δx²

De mi tabla podemos ver que

3ΔΔΔx² = ΔΔΔΔx³

Así que

3Δx² = ΔΔx³

[Las deltas se pueden cancelar a ambos lados de estas igualdades en concreto]*

Y entonces,

Δt' = 3Δx² = ΔΔx³
Δt = Δx³

Por lo tanto,

Δt' = ΔΔt

La derivada es simplemente el ritmo de cambio de nuestra variable dependiente Δt. Pero repito, es el ritmo de cambio de una longitud o periodo. No es el ritmo de cambio de un punto o un instante. Un punto en la gráfica representa un valor para Δt, no un punto en el espacio. La derivada es el ritmo de cambio de una longitud (o un periodo de tiempo)

*¿Por qué podemos cancelar las deltas aquí? Es una pregunta muy importante. ¿Es una delta una variable? ¿Son todas las deltas iguales unas a otras? La respuesta es que una delta no es una variable; y que cada delta no es igual. Por lo tanto las reglas de cancelación son un poco complicadas. Una delta no es un símbolo matemático que pueda aparecer aislado. Nunca lo verás solo. Está conectado a la variable a la que precede. Una variable y todas sus deltas deben tomarse por lo tanto como una sola variable. Esto parecería implicar que cancelar deltas está prohibido. Sin embargo un análisis concienzudo muestra que en algunos casos se puede hacer. Una variable y todas sus deltas representan un intervalo o diferencial. En un punto concreto de la gráfica, eso sería un intervalo particular. Pero en una ecuación general, representa todos los posibles intervalos de una variable. Como puedes ver en mi tabla, algunas variables delta tienen el mismo valor de intervalo en todos los puntos. La mayoría no. Las variables de exponentes altos con pocas deltas tienen grandes ritmos de cambio. Sin embargo, todas las líneas de la tabla dependen de la primera. Ten en cuenta que cada línea se puede leer como, "Si Δx = 1,2,3, etc., entonces esta línea es cierta" Puedes verlo si sustituyes esos valores de Δx en cada línea, para obtener esa línea. Cada línea de la tabla es una reelaboración de la primera. La línea tres es lo que pasa cuando elevas al cuadrado la primera línea, por ejemplo. Así que la variable subyacente Δx es la misma en cada línea de la tabla. Por lo tanto, si montas una igualdad entre una línea y otra, los ritmos de cambio se pueden relacionar. Son todos ritmos de cambio de Δx. Por eso puedes cancelar las deltas aquí.
Todo esto quiere decir que si x está en los dos lados de la ecuación, puedes cancelar deltas. De otro modo no puedes.

Ahora hagámoslo otra vez si usar lo que ya sabemos del cálculo. Demostremos la ecuación de la derivada lógicamente sólo desde la tabla sin hacer ninguna suposición de que la ecuación histórica es correcta. De nuevo, se nos da la ecuación de la curva y una curva en una gráfica. Δt = Δx³
Miramos entonces mi segunda tablita para encontrar Δx³. Vemos que la diferencia es constante (6) cuando la variable cambia a este ritmo: ΔΔΔΔx³. Dirás, "Espera, explica eso. ¿Por qué fuiste a ese sitio de la tabla? ¿Qué nos importa si la diferenia es constante?" Nos importa porque cuando la diferencia es constante, la curva ya no se curva más sobre ese intervalo. Si la curva ya no se curva más, tenemos una línea recta. La línea recta es nuestra tangente. Es lo que estamos buscando.

Ahora mostremos lo que significa 2ΔΔx = ΔΔΔx². La ecuación nos está diciendo "dos veces el ritmo de cambio de x es igual al 2RoC de x²". Eso es algo así como decir "dos veces la velocidad de  es igual a la aceleración de x²". Estas igualdades son solo igualdades numéricas. No implican relaciones espaciales. Por ejemplo, si digo, "Mi velocidad es igual a tu aceleración", no estoy diciendo nada acerca de nuestras velocidades. No estoy diciendo que nos estemos moviendo del mismo modo o cubriendo el mismo espacio. Solo estoy destacando una igualdad numérica. El número que calculo para mi velocidad simplemente resulta que es el número que estás calculando tú para tu aceleración. Es una relación numérica. Esta relación numérica es la base del cálculo. La tabla de arriba es simplemente una lista de algunas relaciones numéricas más complejas. Pero no son muy complejas, obviamente, puesto que todo lo que tuvimos que hacer fue restar un número del siguiente.

Ahora veamos otra vez nuestra ecuación dada, Δt = Δx³

¿Qué nos está diciendo exactamente la ecuación? Cómo la gráfica nos da la curva—la define, la visualiza, todo—deberíamos ir a la gráfica para descubrirlo. Si queremos dibujar la curva, ¿Qué es lo primero que hacemos? Sustituimos números en Δx y vemos lo que obtenemos para Δt, ¿No? ¿Qué números le damos a Δx? Los enteros, por supuesto. Puedes ver que si ponemos los números enteros, entonces Δx cambia a un ritmo de uno. Ponemos primero el 1, luego el 2 y así sucesivamente. Así que Δx cambia a un ritmo de uno. Como demostré arriba, no tenemos que poner enteros. Incluso si ponemos fracciones o decimales, Δx seguirá cambiando a ritmo uno. Sólo que no sería tan fácil pintar la curva. Si Δx cambia a ritmo uno, entonces Δt cambiará a ritmo Δx³. Eso es lo que nos dice la ecuación.

Ahora que somo claros respecto a qué representa cada cosa, estamos preparados para la demostración.

Se nos da Δt = Δx³
Encontramos en la tabla que 3ΔΔΔx² = ΔΔΔΔx³
Simplificamos 3Δx² = ΔΔx³
Buscamos ΔΔt
Nos damos cuenta de que  ΔΔt = ΔΔx³, puesto que podemos añadir una delta a ambos lados*
Sustituímos ΔΔt = 3Δx²
ΔΔt = Δt'
Así que
 Δt' = 3Δx²

Ahora explicaré los pasos detenidamente. La ecuación final se lee, al completo: "Cuando el ritmo de cambio de la longitud Δx es uno, el ritmo de cambio de la longitud (o periodo, este caso) Δt es 3Δx²". La primera parte de esa frase se presupone dadas mis explicaciones anteriores, pero es bueno para nosotros verla escrita aquí, en el lugar adecuado.  Porque nos dice que cuando obtenemos la derivada, estamos obteniendo el ritmo de cambio de la primera variable (la variable prima) cuando la otra variable cambia a ritmo uno. Por lo tanto no dejamos que ninguna variable se acerque a un límite o que tienda a cero. Repitiéndolo, ΔΔx no tiende a cero. Es el número uno.

Esta es la razón por la que puedes dejar que se esfume del denominador de la prueba actual del cálculo. En la prueba actual la fracción Δy/Δx (que sería ΔΔy/ΔΔx en mi notación) se lleva a un límite, en cuyo caso Δx tiende a cero, se nos dice. Pero de alguna manera la fracción no tiende a infinito, sino a Δy. La explicación histórica nunca fue satisfactoria. He mostrado que es simplemente porque el denominador es uno. Un denominador de uno siempre se puede ignorar.

*Se nos permite añadir deltas a ambos lados de la ecuación en este caso porque estamos añadiendo las mismas deltas. Las deltas no son siempre equivalentes, pero podemos multiplicar ambos lados por deltas que sean equivalentes. Lo que pasa es que tenemos una igualdad para empezar. Luego le damos el mismo ritmo de cambio a ambos lados: así que la igualdad se mantiene.

Ahora podrías preguntar, "OK, pero ¿Cómo sabías que buscabas ΔΔt? Has mostrado arriba que la demostración actual lo busca, pero se supone que tú estabas demostrando sin asumir nada de la demostración actual ni del uso del cálculo. ¿Por qué lo buscabas? ¿Qué representa según tu interpretación? ¿Qué pasa en la gráfica o en el mundo real que ΔΔt explique?"

Buena pregunta. Respondiéndola puedo finalizar practicamente esta demostración. Ya he enseñado que  por la forma misma en que la ecuación y la gráfica se generan, podemos ver que debe ser cierto que ΔΔx = 1. Sabiendo esto, ¿Qué buscamos? La tangente a la curva en la gráfica. La tangenete a la curva en la gráfica es una línea recta que toca la curva en (Δx, Δt). Cada tangente toca la curva en sólo un (Δx, Δt), de otro modo no sería la tangente y la curva no sería una curva diferenciable. Como la tangente es una línea recta, su pendiente será ΔΔt/ΔΔx. Así que necesitamos una ecuación que nos de un ΔΔt/ΔΔx para cada valor de Δt y Δx de nuestra curva. Nada puede ser más simple. Sabemos que ΔΔx = 1, así que símplemente buscamos ΔΔt. ΔΔt/ΔΔx = ΔΔt/1 = ΔΔt.

ΔΔt es la pendiente de la tangente en cada punto de la curva de la gráfica.
Si Δt = Δx³
Entonces ΔΔt = 3Δx²

N. del T. Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"

23 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (IV)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
4. El algoritmo  <- estás aquí

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Parte cuatro:El algoritmo.



Con esto establecido estoy preparado finalmente para desvelar mi algoritmo. Tenemos una definición estricta del ritmo de cambio, tenemos nuestras asignaciones de variables establecidas de forma clara y sin ambigüedades, y tenemos la comprensión necesaria de la recta numérica y las gráficas. Usando esta información podemos resolver un problema de cálculo sin series infinitas ni límites. Todo lo que necesitamos es esta bella tabla que elaboré para este fin. He ojeado los libros de matemáticas históricos para ver si aparecía esta tabla en algún sitio. No la he podido encontrar. Puede estar enterrada en alguna biblioteca, pero si es así lo desconozco. Hubiera deseado tenerla cuando aprendí cálculo en bachillerato.  Habría aclarado un montón de cosas.

Δx = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
Δ2x = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18...
Δx² = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81...
Δx³ = 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343...
Δx⁴ = 1, 16, 81, 256, 625, 1296...
Δx⁵ = 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807
ΔΔx = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
ΔΔ2x = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔx² = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
ΔΔx³ = 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127
ΔΔx⁴ = 1, 15, 65, 175, 369, 671
ΔΔx⁵ = 1, 31, 211, 781, 2101, 4651, 9031
ΔΔΔx = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
ΔΔΔx² = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔΔx³ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42
ΔΔΔx⁴ = 14, 50, 110, 194, 302
ΔΔΔx⁵ = 30, 180, 570, 1320, 2550, 4380
ΔΔΔΔx³ = 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
ΔΔΔΔx⁴ = 36, 60, 84, 108
ΔΔΔΔx⁵ = 150, 390, 750, 1230, 1830
ΔΔΔΔΔx⁴ = 24, 24, 24, 24
ΔΔΔΔΔx⁵ = 240, 360, 480, 600
ΔΔΔΔΔΔx⁵ = 120, 120, 120
de aquí podemos predecir que
ΔΔΔΔΔΔΔx⁶ = 720, 720, 720
Y así sucesivamente


Esto es lo que se llama un análisis numérico simple. Es una tabla de diferenciales.
La primera línea es una lista de las longitudes enteras portenciales de un objeto. Es también una lista de cardinales enteros, como puedes ver. Es también una lista de los posibles números de cajas que podemos contar en una gráfica. Es por consiguiente tanto física como abstracta, así que se puede aplicar en el sentido que uno quiera.
La línea 2 enumera las longitudes potenciales o números de cajas de la variable Δ2x.
La línea 3 enumera los números posibles de cajas para Δx².
La línea 7 empieza con los diferenciales de segundo orden. Enumera los diferenciales de la línea 1, como puedes ver. Para encontrar estos diferenciales, símplemente resté a cada número el anterior.
La línea 8 enumera los diferenciales de la línea 2, y así sucesivamente.
La línea 14 enumera los diferenciales de la línea 9.
Creo que puedes seguirle la lógica al resto.

Ahora vamos a destacar las líneas importantes y a volver a listarlas en orden

ΔΔx = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
ΔΔΔx² = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔΔΔx³ = 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
ΔΔΔΔΔx⁴ = 24, 24, 24, 24
ΔΔΔΔΔΔx⁵ = 120, 120, 120
ΔΔΔΔΔΔΔx⁶ = 720, 720, 720

¿Lo ves?
2ΔΔx = ΔΔΔx²
3ΔΔΔx² = ΔΔΔΔx³
4ΔΔΔΔx³ = ΔΔΔΔΔx⁴
5ΔΔΔΔΔx⁴ = ΔΔΔΔΔΔx⁵
6ΔΔΔΔΔΔx⁵ = ΔΔΔΔΔΔΔx⁶
Y así sucesivamente.


Voila. Tenemos la ecuación de la derivada actual, simplemente sacada de una tabla. Todo lo que tengo que hacer ahora es explicar qué significa. En lugar de mirar a donde los diferenciales se acercan a cero, como hizo el cálculo, he tenido que mirar más y más lejos en la tabla de ritmos de cambio cada vez para encontrarla, pero siempre está ahí. El cálculo resuelve hacia arriba desde diferenciales que tienden a cero. Yo resuelvo de arriba a abajo a partir de un diferencial constante. Su diferencial nunca se define o se explica completamente (a pesar de sus reivindicaciones); el mío lo será en los párrafos siguientes.

Pero antes de seguir, voy a parar un momento para destacar que nuestros números finales son todos factoriales. Cada línea se puede expresar como n factorial, como en 6 = 3 factorial, 24 = 4 factorial, 720 = 6 factorial, y así sucesivamente. Un análisis completo de esto nos llevaría atrás en el tiempo de nuevo a Pascal y Euler y las complicadas expresiones actuales del cálculo, que estoy simplificando aquí. Pero algunos lectores pueden encontrar este hecho significativo o sugerente.

Explicaré debajo en gran detalle qué se está expresando a medida que re-demuestre la ecuación de la derivada; pero dejame darles brillo primero a los aspectos importantes de esta tabla. La tabla se genera mediante teoría básica de números, como ya he dicho. Eso significa que es cierta para todas y cada una de las variables. Es un análisis de la recta numérica, y la relación de los números enteros y todos los exponentes de los númreos enteros. Por lo tanto podemos usar la información de la tabla para conseguir más información de cualquier ecuación de una curva. La información de la tabla la define la recta numérica en sí misma. Lo que quiere decir que es cierta por definición. De esta manera se puede entender como un alijo de información o de igualdades tautológicas preexistentes. Como puedes ver, la tabla no necesita demostración, porque es simplemente una lista de hechos. Es un resultado directo de la  notación exponencial, y no he hecho nada más que enumerar valores.

Lagrange afirmaba que las series de Taylor eran el motor secreto detrás del cálculo, pero esta tabla es el motor secreto detrás de las series de Taylor y del cálculo. Personalmente no creo que los griegos encubrieran sus algoritmos ni otras herramientas, pero si lo hicieran, éste sería el algoritmo que esconderían seguramente. No creo que Arquímedes supiera de esta tabla, porque si la conociera no habría seguido buscando sus soluciones con series infinitas.

El cálculo funciona sólo porque las ecuaciones del cálculo funcionan. La ecuación y'=nxn-1 y las demás ecuaciones del cálculo son los hechos operacionales primarios de las matemáticas, y no las demostraciones de Newton o Leibniz o Cauchy. El reconocimiento más importante de Newton y Leibniz fue que esas ecuaciones generalizadas eran lo más importante y necesario, y que debían conseguirse por los medios que fueran. Los medios disponibles para ellos a finales del siglo XVII eran las demostraciones por infinitesimales. Una demostración más elegante proporcionaba resultados que pesaban más que cualquier reparo filosófico, y esa demostración ha perdurado desde entonces. Pero lo que el cálculo está haciendo realmente cuando afirma observar diferenciales decrecientes y límites es coger la información de esta tabla. Esta tabla y las relaciones entre los números que revela claramente son los cimientos de las ecuaciones del cálculo, no las series infinitas o los límites.

Poniéndolo en términos maś simples, las igualdades enumeradas arriba se podría usar para resolver ecuaciones de curvas. Por "resolver" me refiero a que las igualdades enumeradas en esta tabla se sustituyen en ecuaciones de curvas para proporcionarnos información que no podríamos obtener de otra manera. Los problemas de ritmo de cambio se resuelven así mediante sustitución simple, en lugar de complejas demostraciones que involucran infinitos y límites. Una ecuación de una curva nos dice que una variable cambia a un ritmo igual al ritmo que otra variable (elevada a algún exponente) cambia. La tabla de arriba nos dice lo mismo, pero en ella la misma variable está en ambos lados de la ecuación. Así que obviamente todo lo que tenemos que hacer es sustituir del modo correcto y hemos resuelto nuestra ecuación. Hemos cogido información de la tabla y la hemos puesto en la ecuación de la curva, proporcionándonos información nueva. Realmente es así de simple. La única pregunta que hacerse es, "¿Qué información contiene la tabla en realidad?" Y "¿Qué información proporciona tras sustituir en una ecuación de una curva?"

He definido Δx como una distancia lineal desde cero en la gráfica, en la dirección x (si la palabra "distancia" tiene demasiado bagaje físico para tí, puedes sustituirla por "variación respecto a cero"). ΔΔx es entonces el cambio de Δx, y así sucesivamente. Como ΔΔx/ΔΔt es una velocidad, ΔΔΔx es algo así como una aceleración constante, que espera ser calculada (dada una ΔΔt). En ese sentido ΔΔΔΔx es una aceleración variable esperando ser calculada. ΔΔΔΔΔx es una variación de una aceleración variable, y ΔΔΔΔΔΔx es una variación de una variación de una aceleración variable. Alguno podría preguntar "¿Existen realmente esas aceleraciones? Nublan la mente. ¿Cómo pueden cambiar las cosas tan rápido?" Las variables de grandes exponentes nos dicen que tratamos con ese tipo de aceleraciones, existan en situaciones físicas o no. El hecho es que las aceleraciones complicadas existen en la vida real, pero este no es el lugar para discutir sobre ellas. La mayoría de la gente puede imaginarse una aceleración variable, pero se pierde a partir de ahí. Obviamente, en situaciones estrictamente matemáticas, las variaciones pueden seguir cambiando hasta el infinito.

He dicho en el párrafo anterior que la velocidad es ΔΔx/ΔΔt. Según mi notación debe serlo. La notación actual tiene una delta menos que la mía en cada punto. La notación actual asume que las variables de la ecuación de la curva son variables simples: xt. Yo asumo que son variables delta, Δx, Δt. Pero estoy de acuerdo con la teoría actual en que la velocidad es una variación de esas variables. Por lo tanto la velocidad debe ser ΔΔx/ΔΔt.

Dirás, "Entonces estás diciendo que la velocidad no es distancia dividida por tiempo. Estás diciendo que según tu notación la velocidad es una variación de distancia entre una variación de tiempo". Exactamente. Míralo de esta manera: digamos que estoy sentado en el número 3 de una gran regla. He mostrado que el número 3 le dice al mundo que estoy a 3 centímetros del final. Es una distancia dada. Ahora, ¿Puedo usar la distancia para calcular una velocidad? ¿Cómo?—Acabo de decir que estoy ahí sentado. No me estoy moviendo. No hay una velocidad involucrada, así que sería ridículo calcular una. Para calcular una velocidad, debemos tener una velocidad, en cuyo caso me debo mover de una de las marcas numéricas de la regla a otra. En cuyo caso tenemos una variación en la distancia, como puedes ver.

Podrías responder, "¿Y si estuvieras en el origen para empezar? Entonces la distancia y la variación de distancia serían las misma cosa". Serían el mismo número, sí. Pero matemáticamente el cálculo seguiría involucrando una resta, si lo escribieras al completo. Siempre implicaría que ΔΔx = Δx(final) - Δx(inicial) = Δx(final) - 0. Tu número final sería el mismo número, y la magnitud sería la misma, pero conceptualmente no es lo mismo. Digamos que Δx y ΔΔx se miden ambas en metros, pero no son lo mismo conceptualmente.

Una manera de aclarar parte de esta confusión es diferenciar entre longitud y distancia. En física, se intercambian a menudo. En nuestros problemas de ritmo de cambio, tenemos que crear más claridad asignándoles una palabra a cada situación en exclusiva. Asignémosle longitud a Δx y distancia a ΔΔx. Un número cardinal representa la longitud desde cero. Es la extensión entre dos puntos estáticos, sin ningín movimiento implicado. Uno tendría que moverse para ir de uno al otro, pero una longitud no implica a la variable temporal, no implica un cambio en el tiempo. Una longitud puede existir en ausencia de tiempo. Una distancia, sin embargo, no puede. Una distancia implica la presencia de otra variable, incluso si esa variable no es una variable física como el tiempo. Por ejemplo, viajar realmente desde un punto a otro requiere tiempo. La distancia implica movimiento, o implica un cambio de segundo orden. Una longitud es un cambio estático en x. Una distancia es un movimiento desde un x a otro.

N. del T. Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"

22 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (III)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
3. Resto del trabajo preliminar <- estás aquí

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Parte tres:

Resto del trabajo preliminar


Ahora volvamos al trabajo preliminar. La siguiente piedra que debo poner en los cimientos se refiere al ritmo de cambio, y el modo en que este concepto de cambio se aplica a la recta de los números cardinales. El ritmo de cambio es un concepto muy difícil de separar del mundo físico. Esto es así porque el concepto de cambio está estrechamente relacionado con el concepto de tiempo. Este no es el lugar para entrar a discutir sobre el tiempo; baste decir que el ritmo de cambio está en su estado  más abstracto y más matemático cuando lo aplicamos a la recta numérica, a diferencia de cuando lo aplicamos a una recta física o un espacio físico. Pero el concepto de ritmo de cambio no se puede dejar sin definir, ni se puede dar por sabido. El concepto está en el corazón del problema del cálculo, y por lo tanto debemos gastar algo de tiempo en analizarlo.

Ya he mostrado que las variables de la ecuación de una curva son números cardinales, y como tales se deben entender como variables delta. En términos matemáticos, son diferenciales; en términos físicos, son longitudes o distancias. Esto es así porque una curva se define mediante una gráfica y una gráfica se define mediante ejes. Los números en esos ejes representan distancias desde el cero o diferenciales: (x - 0) ó (y - 0). Del mismo modo, la línea de números cardinales también es un compendio de distancias o diferenciales. De hecho, cada eje de una gráfica se puede entender como una recta de números cardinales diferente. El sistema cartesiano es simplemente entonces dos rectas numéricas ajustadas cero con cero a 90º de ángulo.

Siendo esto cierto, la resta de dos números—cuando esos números se toman de un sistema cartesiano o de la recta de números cardinales—es la resta de dos distancias, o de dos diferenciales. Escrito al completo, se vería así:

ΔΔx = ΔxSUBf - ΔxSUBi

Donde ΔxSUBf es el número cardinal final y ΔxSUBi es el número cardinal inicial. Por supuesto, esto es riguroso en extremo, y puede parecer innecesario. Pero sé paciente, porque estamos redescubriendo cosas que sería mejor que no se hubieran olvidado. Esta ecuación muestra que un número cardinal representa un cambio desde cero, y que la diferencia de dos números cardinales es el cambio de un cambio. Todo lo que hemos hecho es restar un número de otro y ya tenemos un cambio de segundo orden.

Siguiendo este método estricto, descubrimos que cualquier número entero restado del siguiente es igual a 1, lo que se debe escribir como ΔΔx = 1. En una gráfica, cada cajita es de 1 caja de ancho, lo que hace que el diferencial de una caja a la siguiente sea 1. Para ir desde el final de una cajita a la siguiente, te has movido 1. Esta distancia puede ser una distancia física o abstracta, pero en cualquier caso es el cambio de un cambio y se debe entender como ΔΔx = 1.

Alguien podría interrumpir en este momento para decir, "Tienes una delta más en cada punto de lo habitual. ¿Por qué no simplificas y vuelves a lo habitual cancelando una delta en todos lados?" No podemos hacer eso porque entonces no tendríamos una representación estándar de un punto. Si dejamos que una variable signifique un número cardinal, el cual he mostrado que no es un punto, no tenemos nada que pueda representar un punto. Para aclarar el problema como creo que es necesario, debemos hacer que xyt representen puntos o instantes u ordinales, y sólo puntos o instantes u ordinales. No podemos intercambiar ordinales por cardinales, y no podemos intercambiar puntos por distancias. Debemos seguir siendo escrupulosos en nuestras asignaciones.

A continuación, podría argumentarse que podemos poner cualquier número en la ecuación de una curva y hacer que funcione, no sólo los números enteros. Cierto, pero las rectas de la gráfica son números enteros habitualmente. Cada caja es de una caja de ancho, no ½ caja o e cajas o π cajas. Esto es importante porque las recatas definen la gráfica y la gráfica define la curva. Significa que el eje x en sí mismo tiene un ritmo de cambio 1, así como el eje y y el z. La recta numérica en sí misma tiene un ritmo de cambio 1, por definición. Nada de mi teoría de números funcionaría si no lo tuviera.

Por ejemplo, la secuencia 1, 1, 1, 1, 1, 1... describe un punto. Si permaneces en 1, no te mueves. Un punto no tiene RoC (Rate of  Change—Ritmo de Cambio). Su cambio es cero, por lo tanto su RoC es cero. La secuencia de números enteros cardinales 1, 2, 3, 4, 5, ... describe un movimiento, en el sentido de que estás en un número diferente a medida que sigues la secuencia. Primero estás en 1, luego en 2. Te has movido, en un sentido abstracto. Como y cambio es 1 cada vez, tu RoC es fijo. Tienes un RoC constante de 1. Una longitud es un cambio de x de primer orden. Cada valor de Δx que tenemos en una gráfica o una ecuación es un cambio de este tipo. Si x es un punto del espacio o un número ordinal, y Δx es un número cardinal, entonces ΔΔx es un RoC.

Tengo que resaltar también que la recta de números cardinales tiene un RoC de 1 sin importar los números a los que mires. Racionales, irracionales, los que sean. Algunos pueden argumentar que la recta numérica tiene un RoC de 1 sólo su hablas de números enteros. En ese caso tiene una especie de "cadencia", como se me ha sugerido. Otros han dicho que recta numérica debe tener un RoC de cero, incluso usando mi forma de pensar, porque tiene un número infinito de puntos, o números. Hay un número infinito de puntos desde el cero al 1, incluso. Por lo tanto si "saltas" de uno a otro, de modo físico o abstracto, te tomará un tiempo infinito llegar de cero a uno. Pero eso símplemente no es cierto. Como resulta, en este problema, operacionalemete, los posibles valores de Δx tienen un RoC de 1, da igual que unos elijas. Si para empezar has elegido los números de la recta numérica (y cómo podrías no hacerlo) no puedes separar luego los números de esa recta. Siempre están conectados a ella, por definición y opeación. La recta numérica siempre se "mueve" con RoC 1, así que el hueco entre cualquier número que elijas para x e y de cualquier ecuación se moverán con un RoC de 1.

Si no está claro, tomemos el caso en el que te dejo elegir valores para xSUB1 y xSUB2 arbitrariamente, digamos xSUB1 = .0000000001 y xSUB2 = .0000000002. Si no estás de acuerdo con mi teoría, podrías decir, "Mi hueco es sólo .0000000001. Por lo tanto mi RoC debe ser mucho menor que uno. Una secuencia de huecos de .0000000001 sería de hecho muy muy lenta". Pero no sería lenta. Tendría un RoC de 1. Debes asumir que tu .0000000001 y .0000000002 están en la recta numérica. Si lo haces, entonces tu hueco es diez mil millones de veces más pequeño que el hueco de cero a 1. Por lo tanto, si vinculas tu hueco con la recta numérica—para medirlo—entonces la recta numérica, incontrolable, recorrerá tu hueco diez mil millones de veces más rápido que el hueco de cero a uno. La verdad es que tu pequeño hueco tentrá un RoC diminuto sólo si estuviera en su propia regla de medir. Pero en ese caso, la unidad básica de medida no sería 1. Sería .0000000001. Una regla de medir, o una recta numérica, cuya unidad básica se define como 1, debe tener un RoC de 1, en todos los puntos, por definición.

De todo esto puedes ver que he definido el ritmo de cambio para que no sea estrictamente equivalente a la velocidad. Una velocidad es una razón, pero es una que ya ha sido establecida. Un ritmo de cambio, tal como lo uso aquí, es una razón que espera ser calculada. Es un numerador esperando un denominador. Le he llamado a una delta un cambio, y a dos deltas un ritmo de cambio. Tres deltas serían un ritmo de cambio de segundo orden (ó 2RoC), y así sucesivamente.

N. del T. Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"

21 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (II)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
2. Interludio histórico y una crítica de la demostración actual  <- Estás aquí

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Parte segunda:
Interludio histórico
y
una crítica de la demostración actual.


Tomemos un pequeño descanso de estos trabajos preliminares y volvamos a la historia del cálculo sólo un momento. En la historia, dos matemáticos fueron los que más se acercaron a darse cuenta de la diferencia entre el punto matemático y el punto físico. Pensarás que Descartes debió ser uno de ellos, puesto que inventó el diagrama. Pero no lo es. Aunque hizo un trabajo muy importante sobre la materia, su diagrama resultó ser el mayor obstáculo en la historia para una verdadera compresión del problema que he relatado aquí. Si hubiera visto la importancia operacional de todos los diagramas, habría descubierto algo realmente básico. Pero nunca analizó los campos creados por diagramas, ni el suyo ni ningún otro. No, el primero en flirtear con la solución fue Simon Stevin, el gran matemático flamenco de finales del siglo XVI. Él es la persona más responsable de la definición moderna de número, redefiniendo audazmente las definiciones griegas que nos llegaron a la era "moderna" vía Diofanto y Vieta [1]. Mostró el error de asignar el punto a la "unidad" o el número uno; el punto debía ser asignado a su magnitud análoga, que era el cero. Demostró que el punto era indivisible precisamente porque era el cero. Esta corrección tanto a la geometría como a la aritmética llevó a Stevin en la dirección de mi solución de aquí, pero nunca se dio cuenta de la trascendencia operacional del diagrama en geometría. Refinando los coceptos de número y punto, no vio que tanto los griegos como los modernos estabamos en posesión de dos conceptos diferentes del punto: el punto en el espacio y el punto en la diagramática.

John Wallis se acercó incluso más a este entendimiento. Siguiendo a Stevin, escribió ampliamente de la importancia del punto como un análogo a la nada. También realizó importantes trabajos sobre el cálculo, siendo quizás la mayor influencia para Newton. Estaba por lo tanto en la mejor posición históricamente para haber descubierto la disyunción de los dos conceptos de punto. Desafortunadamente continuó siguiendo la fuerte corrente del siglo XVII, que estaba dominada por las series infinitas y el infinitesimal. Después de que su estudiante Newton creara la forma actual del cálculo, los matemáticos no estaban ya interesados en las rigurosas definiciones de los griegos. La abstracción creciente de las matemáticas hizo que la elegancia ontológica de los antiguos pareciera pintoresca, si no pasada de moda. La corriente matemática desde el siglo XVIII ha sido considerablemente progresiva. Muchos nuevos campos han emergido, y estudiar los fundamentos no ha estado en boga. Por lo tanto se volvió menos y menos probable que alguien se diera cuenta de los errores conceptuales en las raíces del cálculo. Forasteros de las matemáticas como el obispo Berkeley en los principios del siglo XVIII no lograron encontrar los errores básicos (descubrió los efectos pero no las causas), y los éxitos de los nuevos matemáticos hicieron que discutirlo más a fondo fuera impopular.

Hasta ahora he criticado la habilidad del cálculo para encontrar valores instantáneos. Pero debemos recordar que Newton lo inventó  para ese preciso propósito. En De Methodis, propone dos problemas a resolver. 1) "Dada una longitud del espacio continuamente, encontrar la velocidad del movimiento en cualquier instante." 2)"Dada la velocidad del movimiento continuamnte, encontrar la longitud del espacio descrito en cualquier instante." Obviamente, el primero se resuelve por lo que ahora llammos diferenciación y el segundo por integración. A lo largo de los últimos 350 años, los fundamentos del cálculo han evolucionado de alguna forma, pero las preguntas que propone resolver y las soluciones que aporta, no lo han hecho. Esto es, todavía creemos que esas dos preguntas tienen sentido, y que es sensato que hayamos encontrado una respuesta para ellas.

La pregunta 1 trata de encontrar una velocidad instantánea, lo que es una velocidad sobre un intervalo de tiempo cero. Esto se hace todo el tiempo, hasta el día de hoy. La pregunta 2 es la inversa matemática de la pregunta 1. Dada una velocidad, encontrar la distancia viajada en un intervalo de tiempo cero. Esto ya no se hace, porque su absurdidad está clara. En la gráfica, o en la vida real, un intervalo de tiempo cero equivale a una distancia cero. No puede haber una distancia viajada en un intervalo de tiempo cero, incluso menos sobre una distancia cero, y la mayor parte de la gente parece entender esto. En lugar de tomar esto como un problema, sin embargo, los matemáticos y los físicos lo han enterrado. Ni siquiera se exhibe como una paradoja gloriosa, como las paradojas de Einstein. No, se dejó en el armario, si es que se recuerda que existe en absoluto.

Como debería estar ya claro por mi exposición de la ecuación de la curva, los dos problemas de Newton no están en forma matemática o lógica, y por lo tanto son irresolubles. Esto implica que cualquier método que proporcione una solución también debe tener una forma incorrecta. Si encuentras un método para obtener un número que no existe, entonces tu método es defectuoso. Un método que proporcione una velocidad instantánea debe ser un método sospechoso. Una ecuación obtenida por este método no puede ser de confianza hasta que se le dé una base lógica. No hay distancia sobre una distancia cero; y, del mismo modo, no hay velocidad sobre un intervalo cero.

El obispo Berkeley comentó los atributos ilógicos de las demostraciones de Newton poco después de que fueran publicadas (The Analyst, 1734). Irónicamente, las críticas de Berkeley a Newton eran un vivo retrato de las críticas del propio Newton al método de Leibniz. Newton dijo de Leibniz, "No tenemos una idea de las cantidades infinitamente pequeñas y por lo tanto introduje las fluxiones en mi método en el que se puede proceder usando cantidades finitas tanto como sean posibles." Y, "El sumatorio de indivisibles para componer un área o sólido nunca se ha admitido en Geometría."[2]

Este "usando cantidades finitas tanto como sean posibles" está muy cercano a la admisión de un fracaso. Berkeley llamó a las fluxiones de Newton "espíritus de las cantidades difuntas" que eran unas veces pequeños incrementos, y otras veces ceros. Se quejó de que el método de Newton procedía por una compensación de errores, y estaba lejos de estar solo en este análisis. Muchos matemáticos de la época se tomaron las críticas de Berkeley seriamente. Los matemáticos posteriores que eran mucho menos vehementes en sus críticas, incluyendo a Euler, Lagrange y Carnot, hicieron uso de la idea de una compensación de errores intentando corregir los fundamentos del cálculo. Así que sería injusto desestimar a Berkeley simplemente porque terminara en el lado equivocado de la historia. Sin embargo, Berkeley no pudo explicar por qué las ecuaciones obtenidas funcionaban, y la utilidiad de la ecuación finalmente pesó más que los recelos que los filósofos pudieran tener. Si Berkeley hubiera sido capaz de derivar las ecuaciones en términos claramente más lógicos, sus comentarios habrían sido tratados sin lugar a dudas con maś respeto por la historia. Tal como está la cosa, hemos llegado a un punto en el que citar a filósofos, y especialmente filósofos que eran además obispos, está lejos de ser un método convincente, y no voy a sacar más de eso. Es improbable que los físicos y matemáticos destetados de las ocurrencias de Richard Feynman encuentren las ocurrencias de Berkeley muy actualizadas.

Aprovecharé esta oportunidad para señalar, de todas formas, que mi crítica de Newton es de una clase categóricamente diferente al tipo de la de Berkeley, y de todos los filósofos que se han quejado de los infinitos en las demostraciones. No he criticado hasta ahora al cálculo por fundamentos filosóficos, ni lo haré. Las series infinitas tienen su lugar en las matemáticas, así como los límites. Mi argumento no es que uno no pueda concebir infinitos, infinitesimales o cosas por el estilo. Mi argumento ha sido y continuará siendo que la curva, ya sea un concepto o una abstracción matemática, no puede admitir lógicamente la aplicación de una serie infinita, en la forma del cálculo. Minimizando la reacción moderna a los puntos de vista de Berkeley, Carl Boyer dijo, "Puesto que las matemáticas tratan las relaciones más que la existencia física, su criterio de verdad es la consistencia interna en lugar de la plausibilidad en la luz del sentido de la percepción o la intuición."[3] Estoy de acuerdo, e insisto en que mi argumento principial ya adelantado aquí es que no hay consistencia interna en hacer que un diferencial [f(x + i) – f(x)] tienda a un punto cuando ese punto ya se expresa como dos diferenciales [(x-0) e (y-0)].

Boyer da la opinión de la mayoría de los matemáticos cuando defiende la velocidad instantánea de esta manera: "El argumento [de Berkeley] es por supuesto completamente válido al mostrar que la velocidad instantánea no tiene realidad física, pero esto no es razón para que, si se define de manera correcta o se toma como una día indefinida, no deba aceptar como una abstracción matemática."[4] Mi respuesta a esto es que los físicos han tratado la velocidad instantánea como una realidad física desde que Newton lo hizo. Más allá de eso, ha sido aceptada por los matemáticos como una idea indefinida, no como una idea correctamente definida, como Boter parece reconocer. No habría necesitado incluir la cláusula "o tomada como una idea indefinida" si todas las ideas necesitaran ser correctamente definidas antes de aceptarse como "abstracciones matemáticas". La idea de velocidad instantánea no se puede definir de manera correcta matemáticamente porque se obtiene de una ecuación que no puede ser definida de manera correcta matemáticamnte. A menos que Boyer quiera argüir que toda la heurística debería aceptarse como buenas matemáticas (posición la cual han aceptado los físicos contemporáneos, y las matemáticas actuales le pisan los talones), su argumento es un sinsentido.

Muchos matemáticos y físicos sostendrán que los fundamentos del cálculo han sido una cuestión cerrada desde que Cauchy en los años 1820, y que mi tesis al completo únicamente puede parecer quijotesca. Sin embargo, tan recientemente como en los años 1960, Abraham Robinson estaba intentando resolver aún problemas percibidos en los fundamentos del cálculo. Su análisis no estándar se inventó para este solo propósito, y generó bastante atención en el mundo de las matemáticas. La mayoría matemática no la ha aceptado, pero su existencia es una prueba de una inquietud extendida. Incluso en los más altos niveles (uno diría que especialmente en los más altos niveles) sigue habiendo preguntas sin respuesta acerca del cálculo. Mi tesis responde a esas preguntas mostrando los defectos que subyacen bajo el análisis estándar y el no estándar.

 Los problemas originales de Newton se deberían haber enunciado así: 1) Dada una distancia que varía a lo largo de un número de intervalos iguales, encontrar la velocidad durante cualquier intervalo propuesto. 2) Dada una velocidad variable durante un intervalo, encontrar la distancia viajada durante cualquier subintervalo propuesto. Estas son las preguntas que el cálculo realmente responde, como demostraré más abajo. Los números generados por el cálculo se aplican a subintervalos, no instantes ni puntos. El uso de Newton de las series infinitas, como las series de potencias, le llevó a creer erróneamente que las curvas dibujadas en gráficas podían ser expresadas como una serie infinita de diferenciales (que se desvanecen). Todos los otros fundadores del cálculo cometieron el mismo error. Pero, debido a la manera en que la curva se genera, no se puede expresar así. Cada punto de la gráfica ya es un par de diferenciales; por no tiene ni utilidad ni significado hacer que un diferencial propuesto tienda a un punto de la gráfica.

Para mostrar con precisión lo que quiero decir, miremos a la demostración actual de la ecuación de la derivada. Toma una ecuación de una función por ejemplo:

y = x²
Súmale δy y δx para obtener:
y + δy = (x + δx)² 
réstale a la primera ecuación la segunda:
δy = (x + δx)² - x² 
= 2xδx + δx²
divide por δx

δy /δx = 2x + δx

Haz que δx tienda a zero (sólo en el miembro derecho, por supuesto)
δy / δx = 2x
y' = 2x

La mayoría esperará que mi única crítica sea que δx no debería tender a cero en el lado izquierdo, porque eso implicaría que el cociente tendiera a infinito. Pero esa no es mi crítica principal en absoluto. Mi crítica principal es esta:

En la primera ecuación, las variables representan "todos los puntos posible de la curva" o "cualquier punto posible de la curva." La ecuación es cierta para todos los puntos. Ahora tomemos la última definición, porque la primera no nos deja jugar con ella. Así que en la primera ecuación, estamos en "cualquier punto de la curva". En la segunda ecuación, ¿Estamos todavía en cualquier punto de la misma curva? Algunos pensarán que (y + δy) y (x + δx) son las coordenadas de otro punto cualquiera de la curva—estando este punto cualquiera a alguna distancia del primer punto "cualquiera". Pero un examen atento mostrará que la segunda ecuación de la curva no es la misma que la primera. El punto cualquiera expresado por la segunda ecuación no está en la curva y = x². De hecho, debe estar exactamente a δy de la primera curva. Siendo esto cierto, debemos preguntar por qué querríamos restar la primra  ecuación de la segunda ecuación. ¿Por qué restamos un punto cualquiera de una curva con un punto cualquiera que está fuera de esa curva?

Más aún, al pasar de la ecuación 1 a la ecuación 2, hemos añadido cantidades diferentes a cada lado. Esto no se permite normalmente. Ten en cuenta que hemos añadido δy al miembro izquierdo y 2xδx + δx² al miembro derecho. Esto se podría haber justificado con algún razonamiento si nos proporcionara dos puntos cualesquiera de la misma curva, pero no lo hace. Hemos completado una operación ilegal sin razón aparente.
       
Ahora restamos el primer punto cualquiera del segundo punto cualquiera. ¿Qué obtenemos? Buen, deberíamos obtener un tercer punto cualquiera. ¿Cuáles son las coordenadas de ese tercer punto cualquiera? Es imposible decirlo, porque nos hemos deshecho de la variable y. Las cooredenadas son de la forma (x,y), pero acabamos de eliminar la y al restar. Deberías ver que δy no es lo mismo que y, así que quién sabe si estamos fuera de la curva o en ella. Al haber restado un punto de la primera curva de un punto fuera de la curva, tendríamos mucha suerte de haber acabado de nuevo en la primera curva, creo yo. Pero no importa, ya que estamos restando puntos a puntos. Restarle puntos a puntos es ilegal. Si quieres conseguir una longitud o un diferencial, debes restar una longitud a una longitud o un diferencial a un diferencial. Restarle un punto a otro punto sólo te dara una especie de cero—otro punto. Pero queremos que δy represente la longitud o diferencial en la tercera ecuación, así que podemos dividirla por δx. Tal como la demostración está ahora, δy debe ser un punto en la tercera ecuación. 

Sí, δy es ahora un punto. No es un "cambio en y", en el sentido que el cálculo quiere que sea. No es más la diferencia de dos puntos de la curva. ¡No es un diferencial! Ni es un incremento o intervalo de ninguna clase. No es una longitud, es un punto. ¿Que puede significar para un punto cualquiera tender a cero? La verdad es que no significa nada. Un punto no puede tender a longitud cero porque ya es un longitud cero.
Mira la segunda ecuación de nuevo. La variable y representa un número, pero la variable δy representa una longitud o un intervalo. Pero si y es un punto en la segunda ecuación, entonces δy debe ser un punto en la tercera ecuación. Eso hace dividir por δx en el siguiente paso una imposibilidad lógica y matemática. No puedes dividir un punto por una cantidad en absoluto, puesto que un punto es indivisible por definición. El paso final—hacer tender δx a cero—no se puede defender si solo estás llevando el denominador del miembro izquierdo a cero o si estás llevando la fracción a cero (lo que ha sido la pretensión de muchos). El cociente δy/δx ya estaba comprometido en el paso anterior. El problema no está en que el denominador sea cero; el problema es que el numerador es un punto. El numerador es cero.
Que yo sepa, la demostración del cálculo nunca se ha criticado de esta forma. Desde Berkeley en adelante la principal crítica se refería a explicar por qué el cociente δy/δx no era exactamente cero, y por qué hacer tender δx a cero no hacía que el cociente tendiera a infinito. Newton intentó explicarlo mediante el uso de cocientes originales y finales (prime and ultimate ratios), y se cree que Cauchy lo resolvió haciendo que el cociente tendiera a un límite. Pero de acuerdo con mi análisis el ratio ya tenía un numerador cero en el paso anterior, así que hacerlo tender a un límite es ridículo.

El análisis no estándar no tiene respuesta a esto tampoco. La definición "rigurosa" de Abraham Robinson de los infinitesimales no ha hecho nada para solucionar mi crítica. Añadir nueva terminología no clarifica el problema, porque no es la cuestión si una parte de estas ecuaciones se llama "estándar" o "no estándar". Si δy es un punto de la curva en la tercera ecuación, ya no es un infinitesimal. A partir de ese momento  no importa cómo lo llamemos, cómo lo definamos, o como axiomaticemos nuestra lógica. No es una distancia y no puede proporcionar lo que queremos, ni con infinitesimales, ni límites, ni series decrecientes ni con niguna otra cosa.

[Me han llegado varios correos de matemáticos furiosos a lo largo de los años, diciendo o insinuando que mencionar esta demostración es un tipo de falacia del hombre de paja. Me dicen que ellos no demuestran la derivada de esa manera y se enzarzan en una larga y tortuosa palabrería en ambas técnicas (las matemáticas y el inglés) para explicarme cómo hacerlo. Desafortunadamente, esta demostracción de arriba es mucho más que una falacia del hombre de paja. Es el modo en que me enseñaron cálculo en bachillerato a principios de los 80, y está expuesto por todo internet hasta el día de hoy. Si es un hombre de paja, es el hombre de paja del mismo mainstream, y mejor hubiera sido que dejaran de promocionarlo. Estos matemáticos están furiosos simplemente porque estoy usando sus propias ecuaciones contra ellos. Hacen referencias a Newton y Leibniz cuando les conviene, pero cuando otro los cita es una falacia del hombre de paja. Estos matemáticos son más escurridizos que las anguilas. Si les mencionas una demostración, te desvían a otra, asegurando que la otra ya ha sido reemplazada. Si luego destruyes la nueva, encuentran una tercera donde esconderse. Y nunca les verás abordar los argumentos principales de tus artículos. Por ejemplo, nunca he conseguido que un sólo matemático responda a los argumentos principales de este artículo. Los ignoran y buscan argumentos tangenciales en los que hacer que pierda el tiempo indefinidamente. Eso, por sí mismo, es una señal de los tiempos que vivimos.]

[1] Véase, por ejemplo, Jacob Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra.

N. del T. Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
2. Interludio histórico y una crítica de la demostración actual  <- Estás aquí