20 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (I)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.

N. del T. Este es el segundo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
1. Trabajo preliminar <- Estás aquí

Por Miles Mathis.

Una nota sobre mis artículos sobre el cálculo[por traducir].

Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].

Parte ITrabajo preliminar


Para probar esto debo proporcionar primero las preliminares a mi teoría analizando en cierta medida un número de conceptos simples que no han recibido mucha atención en los círculos matemáticos en los últimos años. Algunos de estos conceptos no se han discutido en siglos, quizás porque ya no se consideran lo bastante abstractos o esotéricos. Uno de estos conceptos es el número cardinal. Otro es la recta de números cardinales (o naturales). Un tercero es la asignación de variables a una curva. Un cuarto es el acto de dibujar una curva, y asignarle una ecuación a la misma. Si se enseñan estos conceptos aún en la escuela, se hace muy pronto porque son bastante elementales. Por eso, prácticamente se han dado por supuestos—debería decirse que no se han considerado merecedores de un estudio serio desde la caída de Atenas. Quizás ni siquiera entonces se tomaron en serio, puesto que los griegos también fracasaron en entender la curva—como deja claro su uso en las velocidades instantáneas.

El concepto más elemental que debo analizar aquí es el concepto de punto. En la edición de Dover de los Elementos de Euclides, se nos dice, "un punto es aquello que no tiene partes". La edición de Dover proporciona notas sobre cada posible variación de esta definición, tanto antiguas como modernas, pero no logra responder la pregunta que aquí es primordial en mi artículo: siendo "¿Se aplica la definición a un punto matemático o a un punto físico?" O, para ser más francos y directos, "¿Estamos hablando de un punto en el espacio, o de un punto en un papel?" Esta pregunta nunca se ha formulado y mucho menos respondido (hasta ahora).

La mayoría no verán el sentido de mi pregunta, lo sé. ¿Cómo no va a ser lo mismo un punto en un papel que un punto en el espacio? Un punto en un papel es físico—el papel y la tinta con sosas físicas. Así que ¿Qué puedo querer decir?

Déjame aclarar primero lo que no quiero decir. A algunos lectores les resultarán familiares las discusiones sobre el punto, y debo dejar claro que mi pregunta es una completamente nueva. La pregunta histórica, como se planteó durante más de dos milenios ya, concierne a la diferencia entre una mónada y un punto. De acuerdo con las definiciones aniguas, una mónada era indivisible, pero un punto era indivisible y tenía una posición. La pregunta evidente era "¿Posición dónde?" Se pensaba que la única respuesta era "en el espacio, o en el mundo real". Algo no puede tener posición en ningún otro sitio. Un punto es por lo tanto una posición indivisible en el mundo físico. Una mónada es una generalización del punto, un "punto cualquiera", o la idea de un punto. Un punto es una mónada concreta, o la posición de una mónada concreta
   
Pero mi distinción entre un punto matemático y un punto físico no es esta distinción histórica entre una mónada y un punto. No me preocupan las clasificaciones o la existencia. No me importa aquí, al distinguir entre un punto físico y un punto matemático, si uno, ambos o ninguno es un punto físico o una mónada. Un punto en un diagrama es un punto específico; tiene (o representa) una posición conreta. Así que no es una mónada. Pero un punto de una gráfica o punto matemático es una abstracción de un punto físico; no es el punto físico en sí mismo. Su posición es diferente, en primer lugar. Lo que es más importante, idea u objeto, está separdo un nivel del punto físico, como mostraré en cierto detalle más abajo.

La pregunta histórica se ha referido a un tipo de abstracción—de lo específico a lo general. Mi pregunta se refiere a un tipo diferente de abstracción—la representación de algo concreto mediante otra cosa concreta. La edición de Dover le llama a esta pregunta ontológica. Mi pregunta es operacional. Un punto matemático representa un punto físico, pero no es equivalente a un punto físico porque la operación de pintar una gráfica crea campos que no son transmutables directamente en campos físicos.

Las matemáticas aplicadas deben aplicarse a algo. Las matemáticas son abstractas, pero las matemáticas aplicadas no pueden ser completamente abstractas o de lo contrario no se podrían aplicar a nada. Las matemáticas aplicadas se aplican a gráficas o sus equivalentes. No se pueden aplicar directamente al mundo físico. Y por eso le llamo al punto de una gráfica un punto matemático. La geometría aplicada y el álgebra se aplican a puntos matemáticos, que son puntos en una gráfica.

Un punto en un papel es una gráfica, o el principio de una gráfica. Es una representación de un punto físico, no el punto en sí mismo. Cuando aplicamos matemáticas, lo hacemos asignando números a puntos o longitudes (o velocidades, etc. ). La física es matemática aplicada. Está destinada a aplicarse al mundo físico. Pero los números matemáticos no se pueden aplicar a puntos físicos directamente. Las matemáticas son una abstracción, como todo el mundo sabe, y parte de lo que lo hace abstracta incluso cuando se aplica a la física es que los números se asignan a gráficas. Esas gráficas son abstracciones. Una gráfica cartesiana es una de estas abstracciones. La gráfica representa el espacio, pero no es el espacio en sí misma. Un dibujo de un círculo o un cuadrado o un vector u otra representación física es también una abstracción. El vector representa una velocidad, no es la velocidad en sí misma. Un círculo puede representar una órbita, pero no es la órbita en sí misma, y así sucesivamente. Pero no es sólo que el dibujo esté simplificado o escalado lo que lo hace abstracto. La abstracción básica se debe al hecho de que las matemáticas aplicadas al problema, cualquiera que sea, se aplican a la gráfica, no al espacio. Los números se le asignan a puntos del papel o el diagrama cartesiano, no a puntos del espacio.

Todo esto es cierto incluso cuando no se usa papel o pixeles para resolver el problema. Siempre que las matemáticas se aplican a la física, hay alguna representación espacial en algún sitio, incluso aunque sean sólo líneas flotando en la cabeza de alguien. Los números se aplican a esos esquemas mentales de una forma u otra, puesto que los números no se pueden aplicar directamente de forma lógica a los espacios físicos.

La mejor manera de probar la inequivalencia del punto físico y el matemático es mostrar que no puedes asignarle un número a un punto físico. Asignamos números a puntos matemáticos todo el rato. Esta asignación es el primer hecho operacional de las matemáticas aplicadas. Por lo tanto, si no puedes asignar un número a un punto físico, entonces un punto físico no puede ser equivalente a un punto matemático.

Elige un punto físico. Asumiré que puedes hacerlo, aunque los filósofos dirían que eso es imposible. M darían alguna variación del argumento de Kant de que cualquier punto que elijas es de todas formas un concepto mental en tu cabeza, no el punto mismo. Habrás elegido un fenómeno, pero un punto físico es un noúmeno. Pero no estoy interesado aquí en la metafísica; estoy interesado en una definición precisa, una que tenga el contenido matemático necesario para funcionar. Una definición de "punto" que no nos diga si estamos tratando con un punto físico o matemático no puede funcionar completamente, y nos llevará a problemas puramente matemáticos.

Así que has elegido un punto. Ni siquiera voy a ser riguroso y hacer que te preocupes por si es un punto realmente sin dimensiones o indivisible, porque, de nuevo, eso es solo ponerse puntilloso en lo que respecta a este artículo. Digamos que has elegido la esquina de una mesa como tu punto. La única cosa que no voy a permitir que hagas es pensar en ese punto en relación con un origen. No puedes poner la esquina de tu mesa en una gráfica, ni siquiera en tu cabeza. El punto que has elegido es solo lo que es, un punto físico en el espacio. No hay ejes ni orígenes en tu habitación o tu mundo. OK, ahora intenta asignarle un número a ese punto. Si eres cabezota puedes hacerlo. Puedes asignarle el número 5, por ejemplo, solo para irritarme. Pero ahora intenta darle a ese número un significado matemático. ¿Qué, en la esquina de esa mesa, es "5"? Claramente, nada. Si dices que son 5 centímetros desde el centro de la mesa o desde tu pie, has asignado un origen. El centro de la mesa o tu pie se han convertido en el origen. Te he prohibido usar orígenes, puesto que los orígenes son abstracciones matemáticas, y no cosas físicas.

La única manera de asignar un número a un punto es asignar el origen a otro punto, y establecer ejes, de modo que tu habitación se convierta en una gráfica, ya sea en tu cabeza o en un papel. Pero entonces el número 5 se aplica a la gráfica, no a la esquina de la mesa.

¿Qué demuestra esto? La geometría de Euclides es una forma de matemáticas. No creo que nadie sostenga que la geometría no son matemáticas. La geometría se vuelve útil sólo cuando podemos asignar números a puntos, y así poder encontrar longitudes, velocidades y aceleraciones. Si asignamos números a puntos, entonces esos puntos deben ser puntos matemáticos. No son puntos físicos. Las definiciones de Euclides se aplican a puntos en un papel, a gráficas. No se aplican directamnte a puntos físicos.

No voy a sostener que no puedas traducir tus descubrimientos matemáticos al mundo físico. Eso sería nihilista y estúpido, por no decir antiintuitivo. Pero voy a defender aquí que tienes que tomar las debidas precuaciones al hacerlo. Debes diferencuar entre puntos matemáticos y puntos físicos, porque si no lo haces malinterpretarás todas las matemáticas más avanzadas. Malinterpretarás el cálculo, para empezar, y esto desechará todas tus otras matemáticas, incluyendo la topología, el ágebra lineal y vectorial, y el cálculo tensorial.

Para mostrar como se aplica todo esto al cálculo, empezaré con un análisis riguroso de la curva. Digamos que se nos da una curva, pero no se nos da la ecuación correspendiente de la curva. Para encontrar la ecuación, debemos importar la curva a una gráfica. Esta es la forma tradicional de "medirla", usando ejes y un origen y las herramientas con las que estamos familiarizados. Cada eje actúa como una especie de regla, y la gráfica al completo se puede pensar como una regla bidimensional. Este análisis puede parecer autoevidente, pero ya he enumerado varios conceptos que merecen especial atención. Primero, la curva está definida por la gráfica. Cuando descubrimos una ecuación de la curva mediante nuestras medidas de la curva, la ecuación dependerá completamente de la gráfica. Esto es, la gráfica genera la ecuación. Segundo, si usamos una gráfica cartesiana, con dos ejes perpendiculares, entonces tenemos dos y sólo dos variables. Lo que significa que tenemos dos y sólo dos dimensiones. Tercero, cada punto de la gráfica tendrá igualmente dos dimensiones. Déjame repetirlo: cada PUNTO de la gráfica tendrá DOS DIMENSIONES (deja que esto te cale un rato). Usando las variables más comues, tendrá una dimesión x y una dimensión y. Esto significa que cualquier ecuación con dos variables implica dos dimensiones, lo que implica dos dimensiones en cada punto de la gráfica y cada punto de la curva.

Si eres un matemático al que le está fastidiando toda esta "charla filosófica"—o cualquier otro que se pierda mínimamente con todas estas palabras, por la razón que sea—déjame explicar muy claramente por qué he puesto en negrita las palabras de arriba. Porque se podría decir que es la afirmación matemática fundamental de todo este artículo: la tesis fundamental de mi análisis. Un punto en una gráfica tiene dos dimensiones. Pero por supuesto un punto físico no tiene dos dimensiones. Un matemático que definiera un punto como una cantidad que tenga dos dimensiones sería una rareza, cuanto menos. Nadie en la historia ha propuesto que un punto tenga dos dimensiones. Un punto se entiende generalmente como algo sin dimensiones. Y a pesar de eso no tenemos ningún escrúpulo en llamarle a un punto de una gráfica un punto. Esta imprecisión en la terminología ha causado terribles problemas históricamente, y es uno de esos problemas el que esoty desenredando aquí. Tanto la demostración histórica como la actual de la derivada tratan al punto de la gráfica y de la curva como una variable de cero dimensiones. No es una variable de cero dimensiones, es una variable de dos dimensiones. Un punto en el espacio no puede dimensiones, pero un punto en un papel puede tener tantas dimensiones como queramos darle. Sin embargo, tenemos que controlar esas dimensiones en todo momento. No podemos ser descuidados en nuestro lenguaje o nuestras asignaciones. La demostración del cálculo ha sido imprecisa en su lenguaje y en las asignaciones.

Déjame aclararlo con un ejemplo. Digamos que un bicho está trepando por una pared. Tú delineas su rastro. Ahora intentas aplicar una ecuación de curva al rastro, sin ejes. Digamos que la curva resulta concordar con una curva con la que estás familiarizado. Digamos que se parece a la curva y = x². OK, intenta asignar variables al movimiento del bicho. No puedes hacerlo. La razón por la que no puedes hacerlo es que una curva dibujada en la pared, ya sea por bicho o por Miguel Ángel, necesita tres ejes para ser definida. Necesitas x, y y t. La curva puede parecer la misma, pero no es la misma. Una curva en la pared y una curva en una gráfica son dos cosas diferentes.

Como segundo ejemplo, digamos que tu hermano pequeño se monta en su coche nuevo y sale escopetado calle abajo. Corres detrás suya y miras las marcas negras que ha dejado atrás el coche. El está acelerando, así que deberías ver esas marcas curvarse, ¿No? Una curva describe una aceleración ¿No? No necesariamnte. El coche va en una sola dirección, así que puedes pintar x frente a t. No hay una tercera variable y. Pera aún así no describe una curva. El coche va en una línea recta. Difícil de explicar.

La curva como ecuación solo se ve como tal en una gráfica. Su curva depende solo de la gráfica. Es decir, el ritmo de cambio de una ecuación está definido por la gráfica. Todas las ilustraciones y diagramas que has visto en libros con curvas dibujadas sin la gráfica son incompletas. Hace años—nadie sabe cuántos años—los libros dejaron de pintar las rectas, porque estorbaban. Inlcuso Descartes, que inventó esas rectas, probablemente las dejó que se evaporaran como molestia artística. Y así hemos acabado olvidando que cada curva matemática tiene implícita su propia gráfica.

Una curva física y una curva matemática no son equivalentes. No son matemáticamente equivalentes.

Esto es de vital importancia por varias razones. La razón más crítica es que una vez que dibujas una gráfica, debes asignar variabes a los ejes. Digamos que asignas a los ejes las variables x e y, como es habitual. Ahora, debes definir tus variables. ¿Qué significan? En física, variables así pueden significar un punto o un punto. ¿Qué significan tus variables? Sin duda responderás, "mis variables son puntos". Dirás que x es la distancia en el eje x de un punto. Continuarás por decir que las distancias se especifican en matemáticas por Δx (o alguna notación por el estilo) y que si x fuera una Δx la habrías etiquetado como tal.

Sé que esta ha sido la interpretación durante toda la historia. Pero resulta que es errónea. Construyes una gráfica para poder asignar números a tus variables en cada punto de la gráfica. Pero el mero acto de asignar un número a una variable la convierte en una distancia. No puedes asignar un número natural a un punto. Se que esto parecerá metafísico al principio para mucha gente. Parecerá una plasta filosófica. Pero si consideras la situación por un momento, creo que verás que no es más que sentido común. No hay nada esotérico al respecto.

Digamos que en cierto punto de una gráfica, y = 5. ¿Qué significa eso? Dirás que significa que y está en el punto 5 en la gráfica. Pero repito, ¿Qué significa? Si y es un punto entonces 5 no puede pertenecerle. ¿Qué en y tiene la característica "5"? Nada. Un punto no puede tener magnitudes. El número pertenece a la gráfica. El "5" cuenta los pequeños cadritos. Esos cuadritos no son atributos de y, son atributos de la gráfica.

Podrías responder, "Eso es solo una insignificancia. Mantengo que lo que quiero decir es claro: y está en el quinto cuadrito, eso es todo. No necesita una explicación."
Pero le número "5" no es un ordinal. Decir "y está en el quinto cuadrito" estás implicando que 5 es un ordinal. Siempre hemos supuesto que los números de estas ecuaciones son números cardinales [uso "cardinal" aquí en el sentido tradicional de cardinal vs. ordinal. No se confunda con el uso de Cantor del término cardinal]. Estas ecuaciones apenas podrían funcionar si definiéramos las variables como ordinales. Los números vienen de la recta numérica, y la recta numérica está hecha de cardinales. La ecuación y = x² @ x = 4 no se lee "la decimosexta cosa es igual a la cuarta cosa al cuadrado". Se lee "dieciseis cosas son igual que cuatro cosas al cuadrado." Cuatro puntos no son igual a nada. No puedes sumar puntos, de la misma forma que no puedes sumar ordinales. La quinta cosa más la cuarta cosa no es la novena cosa. Son dos cosas sin magnitudes.

La verdad es que las variables de las ecuaciones matemáticas pintadas en gráficas sobre ejes son números cardinales. Más aún, son variables delta, con todas sus implicaciones. Esto es, x debería etiquetarse Δx. La ecuación debería leerse Δy = Δx². Todas las variables son distancias. Son distancias desde el origen. x = 5 significa que el punto de la curva está a 5 cuadritos del origen. Eso es una distancia. También es un diferencial: x = (5 - 0).

 Piénsalo de esta manera. Cada eje es una regla. Los números de una regla son distancia. Son distancias desde el final de la regla. Ve al número "1" de una regla. Ahora, ¿Qué nos dice? ¿Qué contenido informativo tiene el número? ¿Nos está diciendo que la marca de la regla está en el lugar primero? No, por supuesto que no. Nos está diciendo que la marca en el número "1" está a un centímetro del final de la regla. Se nos está diciendo una distancia.

Podrás decir, "Bien, pero incluso aunque sea una distancia, tu número "5" se sigue aplicando a los cuadritos, no a la variable. Así que tu argumento falla, también"

No, no falla. Veamos  las dos posibles asignaciones de las variables:

x = cinco cuadritos o
Δx = cinco cuadritos

La primera asignación de variables es absurda. ¿Cómo puede un punto ser igual que cinco cuadritos? Un punto no tiene magnitud. Pero la segunda asignación de variables tiene todo el sentido. Es una sentencia lógica. La variación en x es igual a cinco cuadritos. Una distancia tiene 5 cuadritos de longitud. Si somos físicos, podemos hacer de esos cuadritos metros o segundos o lo que queramos. Si somos matemáticos, esos cuadrados son simplemente números enteros.

Puedes ver que esto lo cambia todo, con respecto a un problema de cambios de ritmo. Si cada variable es una variable delta, entonces cada punto de una curva se define por dos variables delta. El punto de una curva no representa un punto físico. Ninguna variable es un punto del espacio, y el punto de la gráfica tampoco es un punto del espacio. Está claro que esto va a afectar a la aplicación del cálculo a los problemas de física. Pero también afecta a la derivación matemática. Ten en cuenta que no puedes encontrar la pendiente o la velocidad en un punto (x, y) analizando la ecuación de la curva o la curva en la gráfica, porque ninguna de las dos tiene un punto x en ella. He mostrado que la idea misma es extraña a la preparación de una gráfica. Ningún punto de la gráfica representa a un punto del espacio ni a un instante en el tiempo. Ningún punto en ninguna grafica posible puede representar un punto en el espacio o un instante de tiempo. Un punto en una gráfica de dos ejes representa dos distancias desde el origen. Para representar una recta del espacio en una gráfica, necesitarías un eje. Para representar un punto del espacio, necesitarías cero ejes. No puedes representar en una gráfica un punto del espacio. De la misma forma, no puedes representar un instante de tiempo.

Por lo tanto, todas las manipulaciones del cálculo, todas las dx y las dy y los límites, no son aplicables. No puedes hacer que x tienda a cero en una gráfica, porque eso significaría que realmente estarías haciendo Δx tender a cero, lo que o no tiene ni sentido o es inútil. Significa que estás llevando Δx al origen, lo que es inútil, o que estás llevando Δx al punto x, lo que no tiene sentido (el punto x no existe en la gráfica—estás postulando que la gráfica desaparezca, lo que haría que tu curva desaparezca también)

A su manera, la demostración histórica de la derivada a veces entiende y reconoce esto. A algunos lectores de mis artículos les gusta redirigirme a la definición epsilon/delta, como una explicación del concepto de límite. La definición epsilon/delta es símplemete esto: Para cada ε>0 hay un δ>0 tal que siempre que |x - x0| < δ entonces |f(x) - y0| < ε. Lo que quiero destacar es que |x - x0| no es un punto, es un diferencial. La definición epsilon/delta se simplifica algunas veces como "Sea cual sea el número que puedas elegir, yo puedo elegir uno más pequeño" Lo que se puede modificar como "Puedes elegir un número tan cercano a cero como quieras; pero yo pued elegir uno más cercano". Pero eso no es lo que la demostración epsilon/delta afirma, como puedes ver. La demotración formal define tanto a epsilon como a delta como diferencuales. En física o matemática aplicada, eso sería una longitud. Con palabras, la definición epsilon/delta diría: "Sea cual sea la longitud que elijas, puedo elegir una más corta". Epsilon/delta trata longitudes, no puntos. Si defines tus números o variables o funciones como longitude, como aquí, entonces no puedes declarar después que has encontrado soluciones en puntos. Si estás llevando diferenciales o longitudes a límites, entonces todas tus ecuaciones y soluciones deben estar basadas en longitudes. No puedes llevar una longitud a un límite y luego encontrar un número que se aplica a un punto. Actualmente, el cálculo usa una demostración de la derivada que lleva longitudes a un lúmite, como con epsilon/delta. Pero si llevas longitudes a un límite, entonces tu solución debe ser también una longitud. Si llevas diferenciales a un límite, tu solución debe ser un diferencial. Lo que quiere decir que el cálculo no contiene puntos. Contiene únicamente diferenciales. Por eso se le llama cálculo diferencial. Todas las variables y funciones y ecuaciones son diferenciales y todas las soluciones son diferenciales. El único punto posible en el cálculo está en el cero, y si ese límite se alcanza, encontes tu solución es cero. No puedes encontrar soluciones numéricas en cero, porque el único número en cero es cero.

Si todo esto es cierto, ¿Cómo es posible resolver un problema de cálculo? El cálculo tiene que ver con instantes y cosas instantáneas y límites y cantidades cercanas a cero, ¿No? No, el cálculo inicialmente tenía que ver con resolver areas bajo curvas y tangentes a las curvas, como dije más arriba. He mostrado que una curva en una gráfica no tiene instantes ni puntos en ella, por lo tanto si vamos a resolver sin abandonar la gráfica, tendremos que resolver sin instantes ni infinitesimales ni límites.

También merece la pena destacar que encontrar una velocidad instantánea parece ser imposible. Una curva en una gráfica no tiene velocidades instantáneas en ella por ningún lado—y por lo tanto sería estúpido perseguirlas matemáticamente analizando una curva en una gráfica.

Para resumir: No puedes analizar una curva en una gráfica para encontrar un valor instantáneo, porque no hay valores instantáneos en una gráfica. No puedes analizar una curva fuera de la gráfica para encontrar un valor instantáneo, porque una curva fuera de la gráfica tiene una forma diferente que la misma curva en la gráfica. Es una curva diferente. La ecuación de la curva dada no se le aplica.

Algunos dirán, "Hay una tercera alternativa simple a las dos en este resumen. Coge una curva fuera de la gráfica, una curva física—como ese bicho trepando o tu hermano en su coche— y asígnale la ecuación de la curva directamente. No importes la ecuación de la curva de una gráfica. Simplemente usa la ecuación de la curva correcta desde el principio".

Para empezar, espero que esté claro que no podemos usar el coche como una ecuación de la curva del mundo real, porque no se curva. ¿Y el bicho? De nuevo, tres variables donde necesitamos dos. No funcionará. Para mis incorformistas diré, encuéntrame una curva física que tenga dos variables y yo usaré el cálculo para analizarla contigo sin una gráfica. Simplemente no pueden hacerlo. Es lógicamente imposible.

Uno de mis inconformistas podría ver una salida: "Coge la curva del bicho y aplícale una ecuación, con tres variables, x, y y t. La varable t no es una constante, sino un ritmo de cambio constante. ¡El tiempo siempre va al mismo ritmo! Por lo tanto podemos cancelarlo y volver de nuevo al cálculo. Lo que está pasando es que la curva del cálculo es sólo una simplificación de esta curva de tres ejes".

A esto respondo, sí, podemos usar tres ejes, pero no veo como vas a aplicar variables a la curva sin ponerla en la gráfica. El cálculo está hecho sobra la ecuación de la curva. Debes tener una ecuación de la curva para encontrar una derivada. Para descubrir una ecuación de la curva que se aplique a una curva dada, tienes que pintarla en una gráfica.

El inconformista dice, "No, no. Digamos que tenemos la ecuación primero. Se nos da una ecuación de la curva de tres variables, y simplemente la pintamos en la pared, como hizo el bicho. No hay nada de misterio en eso".

Yo respondo, ¿Dónde está el eje t, en ese caso? ¿Como dibujáis tú o el bicho la componente t en la pared? No estás dibujándola, la estás ignorando. En ese caso la ecuación de la curva dada no se aplica a la curva que has pintado en la pared, se aplica a alguna curva de tres variables en tres ejes.

El inconformista dice, "Puede ser, pero la curvatura es la misma de todas formas, porque t no cambia".

Yo digo, ¿Es la curva la misma? Puedes pintar algunos "puntos" en una gráfica tridimensional para verlo, pero la curva no es la misma. Pinta cualquier curva o incluso una línea recta en un gráfico (x, y). ahora empuja esa gráfica sobre un eje t. La pendiente de la línea recta disminuye, como lo hace la curvatura de cualquier curva. Incuso un círculo se estira. Esto tiene un efecto en el cálculo. Si cambias la curva cambias las áreas bajo la curva y la pendiente de la tangente en cada punto.

El inconformista responde, "No importa, porque nos estamos deshaciendo del eje t. Simplemente vamos a ignorarlo. En lo que estamos interesados es sólo en la relación de x con y, o y con x. Se llama una función, amigo mío. Es una simplificación o abstracción, ¿Qué pasa? Eso es lo que las matemáticas son."

A eso solo puedo responder, vale, pero no has explicado un par de cosas. 1) Si estás hablando de funciones, estás de nuevo en la gráfica de dos variables, y tu curva se ve de esa manera sólo ahí. Para construir esa gráfica debes asignar un origen al movimiento de tu pequeño bicho, en cuyo caso tus dos variables se convierten en variables delta. En cuyo caso no tienes puntos o instantes para trabajar con ellos. El cálculo es inútil. 2) Incluso aunque de alguna manera encuentres valores para tu curva, no se aplicarán al bicho, porque su curva no es tu curva. Su aceleración se determina por su movimiento en el contínuo x, y, t. Has analizado su movimiento en el contínuo x, y, que no es equivalente.

El inconformista dirá, "Lo que sea. Aplica mi curva al coche de tu hermano, si quieres. No importa la apriencia de las marcas de los neumáticos. Lo que importa es la curva dada por la ecuación de la curva. Una gráfica x,t será entonces una abstracción de su movimiento, y los valores generados por el cálculo en esa gráfica serán perfectamente aplicables a él."

Yo respondo que estamos de nuevo como al principio. O aplicas el cálculo a la curva del mundo real, donde hay puntos en el espacio, o la aplicas a la curva de la gráfica, donde no los hay. En el mundo real, donde hay puntos, no hay curvatura. En le gráfica, donde hay curvatura, no hay puntos. Si mi inconformista no ve esto como un problema, es realmente ingenuo.

N. del T. Este es el segundo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"