22 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (III)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
3. Resto del trabajo preliminar <- estás aquí

Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].


Parte tres:

Resto del trabajo preliminar


Ahora volvamos al trabajo preliminar. La siguiente piedra que debo poner en los cimientos se refiere al ritmo de cambio, y el modo en que este concepto de cambio se aplica a la recta de los números cardinales. El ritmo de cambio es un concepto muy difícil de separar del mundo físico. Esto es así porque el concepto de cambio está estrechamente relacionado con el concepto de tiempo. Este no es el lugar para entrar a discutir sobre el tiempo; baste decir que el ritmo de cambio está en su estado  más abstracto y más matemático cuando lo aplicamos a la recta numérica, a diferencia de cuando lo aplicamos a una recta física o un espacio físico. Pero el concepto de ritmo de cambio no se puede dejar sin definir, ni se puede dar por sabido. El concepto está en el corazón del problema del cálculo, y por lo tanto debemos gastar algo de tiempo en analizarlo.

Ya he mostrado que las variables de la ecuación de una curva son números cardinales, y como tales se deben entender como variables delta. En términos matemáticos, son diferenciales; en términos físicos, son longitudes o distancias. Esto es así porque una curva se define mediante una gráfica y una gráfica se define mediante ejes. Los números en esos ejes representan distancias desde el cero o diferenciales: (x - 0) ó (y - 0). Del mismo modo, la línea de números cardinales también es un compendio de distancias o diferenciales. De hecho, cada eje de una gráfica se puede entender como una recta de números cardinales diferente. El sistema cartesiano es simplemente entonces dos rectas numéricas ajustadas cero con cero a 90º de ángulo.

Siendo esto cierto, la resta de dos números—cuando esos números se toman de un sistema cartesiano o de la recta de números cardinales—es la resta de dos distancias, o de dos diferenciales. Escrito al completo, se vería así:

ΔΔx = ΔxSUBf - ΔxSUBi

Donde ΔxSUBf es el número cardinal final y ΔxSUBi es el número cardinal inicial. Por supuesto, esto es riguroso en extremo, y puede parecer innecesario. Pero sé paciente, porque estamos redescubriendo cosas que sería mejor que no se hubieran olvidado. Esta ecuación muestra que un número cardinal representa un cambio desde cero, y que la diferencia de dos números cardinales es el cambio de un cambio. Todo lo que hemos hecho es restar un número de otro y ya tenemos un cambio de segundo orden.

Siguiendo este método estricto, descubrimos que cualquier número entero restado del siguiente es igual a 1, lo que se debe escribir como ΔΔx = 1. En una gráfica, cada cajita es de 1 caja de ancho, lo que hace que el diferencial de una caja a la siguiente sea 1. Para ir desde el final de una cajita a la siguiente, te has movido 1. Esta distancia puede ser una distancia física o abstracta, pero en cualquier caso es el cambio de un cambio y se debe entender como ΔΔx = 1.

Alguien podría interrumpir en este momento para decir, "Tienes una delta más en cada punto de lo habitual. ¿Por qué no simplificas y vuelves a lo habitual cancelando una delta en todos lados?" No podemos hacer eso porque entonces no tendríamos una representación estándar de un punto. Si dejamos que una variable signifique un número cardinal, el cual he mostrado que no es un punto, no tenemos nada que pueda representar un punto. Para aclarar el problema como creo que es necesario, debemos hacer que xyt representen puntos o instantes u ordinales, y sólo puntos o instantes u ordinales. No podemos intercambiar ordinales por cardinales, y no podemos intercambiar puntos por distancias. Debemos seguir siendo escrupulosos en nuestras asignaciones.

A continuación, podría argumentarse que podemos poner cualquier número en la ecuación de una curva y hacer que funcione, no sólo los números enteros. Cierto, pero las rectas de la gráfica son números enteros habitualmente. Cada caja es de una caja de ancho, no ½ caja o e cajas o π cajas. Esto es importante porque las recatas definen la gráfica y la gráfica define la curva. Significa que el eje x en sí mismo tiene un ritmo de cambio 1, así como el eje y y el z. La recta numérica en sí misma tiene un ritmo de cambio 1, por definición. Nada de mi teoría de números funcionaría si no lo tuviera.

Por ejemplo, la secuencia 1, 1, 1, 1, 1, 1... describe un punto. Si permaneces en 1, no te mueves. Un punto no tiene RoC (Rate of  Change—Ritmo de Cambio). Su cambio es cero, por lo tanto su RoC es cero. La secuencia de números enteros cardinales 1, 2, 3, 4, 5, ... describe un movimiento, en el sentido de que estás en un número diferente a medida que sigues la secuencia. Primero estás en 1, luego en 2. Te has movido, en un sentido abstracto. Como y cambio es 1 cada vez, tu RoC es fijo. Tienes un RoC constante de 1. Una longitud es un cambio de x de primer orden. Cada valor de Δx que tenemos en una gráfica o una ecuación es un cambio de este tipo. Si x es un punto del espacio o un número ordinal, y Δx es un número cardinal, entonces ΔΔx es un RoC.

Tengo que resaltar también que la recta de números cardinales tiene un RoC de 1 sin importar los números a los que mires. Racionales, irracionales, los que sean. Algunos pueden argumentar que la recta numérica tiene un RoC de 1 sólo su hablas de números enteros. En ese caso tiene una especie de "cadencia", como se me ha sugerido. Otros han dicho que recta numérica debe tener un RoC de cero, incluso usando mi forma de pensar, porque tiene un número infinito de puntos, o números. Hay un número infinito de puntos desde el cero al 1, incluso. Por lo tanto si "saltas" de uno a otro, de modo físico o abstracto, te tomará un tiempo infinito llegar de cero a uno. Pero eso símplemente no es cierto. Como resulta, en este problema, operacionalemete, los posibles valores de Δx tienen un RoC de 1, da igual que unos elijas. Si para empezar has elegido los números de la recta numérica (y cómo podrías no hacerlo) no puedes separar luego los números de esa recta. Siempre están conectados a ella, por definición y opeación. La recta numérica siempre se "mueve" con RoC 1, así que el hueco entre cualquier número que elijas para x e y de cualquier ecuación se moverán con un RoC de 1.

Si no está claro, tomemos el caso en el que te dejo elegir valores para xSUB1 y xSUB2 arbitrariamente, digamos xSUB1 = .0000000001 y xSUB2 = .0000000002. Si no estás de acuerdo con mi teoría, podrías decir, "Mi hueco es sólo .0000000001. Por lo tanto mi RoC debe ser mucho menor que uno. Una secuencia de huecos de .0000000001 sería de hecho muy muy lenta". Pero no sería lenta. Tendría un RoC de 1. Debes asumir que tu .0000000001 y .0000000002 están en la recta numérica. Si lo haces, entonces tu hueco es diez mil millones de veces más pequeño que el hueco de cero a 1. Por lo tanto, si vinculas tu hueco con la recta numérica—para medirlo—entonces la recta numérica, incontrolable, recorrerá tu hueco diez mil millones de veces más rápido que el hueco de cero a uno. La verdad es que tu pequeño hueco tentrá un RoC diminuto sólo si estuviera en su propia regla de medir. Pero en ese caso, la unidad básica de medida no sería 1. Sería .0000000001. Una regla de medir, o una recta numérica, cuya unidad básica se define como 1, debe tener un RoC de 1, en todos los puntos, por definición.

De todo esto puedes ver que he definido el ritmo de cambio para que no sea estrictamente equivalente a la velocidad. Una velocidad es una razón, pero es una que ya ha sido establecida. Un ritmo de cambio, tal como lo uso aquí, es una razón que espera ser calculada. Es un numerador esperando un denominador. Le he llamado a una delta un cambio, y a dos deltas un ritmo de cambio. Tres deltas serían un ritmo de cambio de segundo orden (ó 2RoC), y así sucesivamente.

N. del T. Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"