23 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (IV)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"
0. Introducción  
4. El algoritmo  <- estás aquí

Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].

Parte cuatro:El algoritmo.



Con esto establecido estoy preparado finalmente para desvelar mi algoritmo. Tenemos una definición estricta del ritmo de cambio, tenemos nuestras asignaciones de variables establecidas de forma clara y sin ambigüedades, y tenemos la comprensión necesaria de la recta numérica y las gráficas. Usando esta información podemos resolver un problema de cálculo sin series infinitas ni límites. Todo lo que necesitamos es esta bella tabla que elaboré para este fin. He ojeado los libros de matemáticas históricos para ver si aparecía esta tabla en algún sitio. No la he podido encontrar. Puede estar enterrada en alguna biblioteca, pero si es así lo desconozco. Hubiera deseado tenerla cuando aprendí cálculo en bachillerato.  Habría aclarado un montón de cosas.

Δx = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
Δ2x = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18...
Δx² = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81...
Δx³ = 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343...
Δx⁴ = 1, 16, 81, 256, 625, 1296...
Δx⁵ = 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807
ΔΔx = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
ΔΔ2x = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔx² = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
ΔΔx³ = 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127
ΔΔx⁴ = 1, 15, 65, 175, 369, 671
ΔΔx⁵ = 1, 31, 211, 781, 2101, 4651, 9031
ΔΔΔx = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
ΔΔΔx² = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔΔx³ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42
ΔΔΔx⁴ = 14, 50, 110, 194, 302
ΔΔΔx⁵ = 30, 180, 570, 1320, 2550, 4380
ΔΔΔΔx³ = 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
ΔΔΔΔx⁴ = 36, 60, 84, 108
ΔΔΔΔx⁵ = 150, 390, 750, 1230, 1830
ΔΔΔΔΔx⁴ = 24, 24, 24, 24
ΔΔΔΔΔx⁵ = 240, 360, 480, 600
ΔΔΔΔΔΔx⁵ = 120, 120, 120
de aquí podemos predecir que
ΔΔΔΔΔΔΔx⁶ = 720, 720, 720
Y así sucesivamente


Esto es lo que se llama un análisis numérico simple. Es una tabla de diferenciales.
La primera línea es una lista de las longitudes enteras portenciales de un objeto. Es también una lista de cardinales enteros, como puedes ver. Es también una lista de los posibles números de cajas que podemos contar en una gráfica. Es por consiguiente tanto física como abstracta, así que se puede aplicar en el sentido que uno quiera.
La línea 2 enumera las longitudes potenciales o números de cajas de la variable Δ2x.
La línea 3 enumera los números posibles de cajas para Δx².
La línea 7 empieza con los diferenciales de segundo orden. Enumera los diferenciales de la línea 1, como puedes ver. Para encontrar estos diferenciales, símplemente resté a cada número el anterior.
La línea 8 enumera los diferenciales de la línea 2, y así sucesivamente.
La línea 14 enumera los diferenciales de la línea 9.
Creo que puedes seguirle la lógica al resto.

Ahora vamos a destacar las líneas importantes y a volver a listarlas en orden

ΔΔx = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
ΔΔΔx² = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔΔΔx³ = 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
ΔΔΔΔΔx⁴ = 24, 24, 24, 24
ΔΔΔΔΔΔx⁵ = 120, 120, 120
ΔΔΔΔΔΔΔx⁶ = 720, 720, 720

¿Lo ves?
2ΔΔx = ΔΔΔx²
3ΔΔΔx² = ΔΔΔΔx³
4ΔΔΔΔx³ = ΔΔΔΔΔx⁴
5ΔΔΔΔΔx⁴ = ΔΔΔΔΔΔx⁵
6ΔΔΔΔΔΔx⁵ = ΔΔΔΔΔΔΔx⁶
Y así sucesivamente.


Voila. Tenemos la ecuación de la derivada actual, simplemente sacada de una tabla. Todo lo que tengo que hacer ahora es explicar qué significa. En lugar de mirar a donde los diferenciales se acercan a cero, como hizo el cálculo, he tenido que mirar más y más lejos en la tabla de ritmos de cambio cada vez para encontrarla, pero siempre está ahí. El cálculo resuelve hacia arriba desde diferenciales que tienden a cero. Yo resuelvo de arriba a abajo a partir de un diferencial constante. Su diferencial nunca se define o se explica completamente (a pesar de sus reivindicaciones); el mío lo será en los párrafos siguientes.

Pero antes de seguir, voy a parar un momento para destacar que nuestros números finales son todos factoriales. Cada línea se puede expresar como n factorial, como en 6 = 3 factorial, 24 = 4 factorial, 720 = 6 factorial, y así sucesivamente. Un análisis completo de esto nos llevaría atrás en el tiempo de nuevo a Pascal y Euler y las complicadas expresiones actuales del cálculo, que estoy simplificando aquí. Pero algunos lectores pueden encontrar este hecho significativo o sugerente.

Explicaré debajo en gran detalle qué se está expresando a medida que re-demuestre la ecuación de la derivada; pero dejame darles brillo primero a los aspectos importantes de esta tabla. La tabla se genera mediante teoría básica de números, como ya he dicho. Eso significa que es cierta para todas y cada una de las variables. Es un análisis de la recta numérica, y la relación de los números enteros y todos los exponentes de los númreos enteros. Por lo tanto podemos usar la información de la tabla para conseguir más información de cualquier ecuación de una curva. La información de la tabla la define la recta numérica en sí misma. Lo que quiere decir que es cierta por definición. De esta manera se puede entender como un alijo de información o de igualdades tautológicas preexistentes. Como puedes ver, la tabla no necesita demostración, porque es simplemente una lista de hechos. Es un resultado directo de la  notación exponencial, y no he hecho nada más que enumerar valores.

Lagrange afirmaba que las series de Taylor eran el motor secreto detrás del cálculo, pero esta tabla es el motor secreto detrás de las series de Taylor y del cálculo. Personalmente no creo que los griegos encubrieran sus algoritmos ni otras herramientas, pero si lo hicieran, éste sería el algoritmo que esconderían seguramente. No creo que Arquímedes supiera de esta tabla, porque si la conociera no habría seguido buscando sus soluciones con series infinitas.

El cálculo funciona sólo porque las ecuaciones del cálculo funcionan. La ecuación y'=nxn-1 y las demás ecuaciones del cálculo son los hechos operacionales primarios de las matemáticas, y no las demostraciones de Newton o Leibniz o Cauchy. El reconocimiento más importante de Newton y Leibniz fue que esas ecuaciones generalizadas eran lo más importante y necesario, y que debían conseguirse por los medios que fueran. Los medios disponibles para ellos a finales del siglo XVII eran las demostraciones por infinitesimales. Una demostración más elegante proporcionaba resultados que pesaban más que cualquier reparo filosófico, y esa demostración ha perdurado desde entonces. Pero lo que el cálculo está haciendo realmente cuando afirma observar diferenciales decrecientes y límites es coger la información de esta tabla. Esta tabla y las relaciones entre los números que revela claramente son los cimientos de las ecuaciones del cálculo, no las series infinitas o los límites.

Poniéndolo en términos maś simples, las igualdades enumeradas arriba se podría usar para resolver ecuaciones de curvas. Por "resolver" me refiero a que las igualdades enumeradas en esta tabla se sustituyen en ecuaciones de curvas para proporcionarnos información que no podríamos obtener de otra manera. Los problemas de ritmo de cambio se resuelven así mediante sustitución simple, en lugar de complejas demostraciones que involucran infinitos y límites. Una ecuación de una curva nos dice que una variable cambia a un ritmo igual al ritmo que otra variable (elevada a algún exponente) cambia. La tabla de arriba nos dice lo mismo, pero en ella la misma variable está en ambos lados de la ecuación. Así que obviamente todo lo que tenemos que hacer es sustituir del modo correcto y hemos resuelto nuestra ecuación. Hemos cogido información de la tabla y la hemos puesto en la ecuación de la curva, proporcionándonos información nueva. Realmente es así de simple. La única pregunta que hacerse es, "¿Qué información contiene la tabla en realidad?" Y "¿Qué información proporciona tras sustituir en una ecuación de una curva?"

He definido Δx como una distancia lineal desde cero en la gráfica, en la dirección x (si la palabra "distancia" tiene demasiado bagaje físico para tí, puedes sustituirla por "variación respecto a cero"). ΔΔx es entonces el cambio de Δx, y así sucesivamente. Como ΔΔx/ΔΔt es una velocidad, ΔΔΔx es algo así como una aceleración constante, que espera ser calculada (dada una ΔΔt). En ese sentido ΔΔΔΔx es una aceleración variable esperando ser calculada. ΔΔΔΔΔx es una variación de una aceleración variable, y ΔΔΔΔΔΔx es una variación de una variación de una aceleración variable. Alguno podría preguntar "¿Existen realmente esas aceleraciones? Nublan la mente. ¿Cómo pueden cambiar las cosas tan rápido?" Las variables de grandes exponentes nos dicen que tratamos con ese tipo de aceleraciones, existan en situaciones físicas o no. El hecho es que las aceleraciones complicadas existen en la vida real, pero este no es el lugar para discutir sobre ellas. La mayoría de la gente puede imaginarse una aceleración variable, pero se pierde a partir de ahí. Obviamente, en situaciones estrictamente matemáticas, las variaciones pueden seguir cambiando hasta el infinito.

He dicho en el párrafo anterior que la velocidad es ΔΔx/ΔΔt. Según mi notación debe serlo. La notación actual tiene una delta menos que la mía en cada punto. La notación actual asume que las variables de la ecuación de la curva son variables simples: xt. Yo asumo que son variables delta, Δx, Δt. Pero estoy de acuerdo con la teoría actual en que la velocidad es una variación de esas variables. Por lo tanto la velocidad debe ser ΔΔx/ΔΔt.

Dirás, "Entonces estás diciendo que la velocidad no es distancia dividida por tiempo. Estás diciendo que según tu notación la velocidad es una variación de distancia entre una variación de tiempo". Exactamente. Míralo de esta manera: digamos que estoy sentado en el número 3 de una gran regla. He mostrado que el número 3 le dice al mundo que estoy a 3 centímetros del final. Es una distancia dada. Ahora, ¿Puedo usar la distancia para calcular una velocidad? ¿Cómo?—Acabo de decir que estoy ahí sentado. No me estoy moviendo. No hay una velocidad involucrada, así que sería ridículo calcular una. Para calcular una velocidad, debemos tener una velocidad, en cuyo caso me debo mover de una de las marcas numéricas de la regla a otra. En cuyo caso tenemos una variación en la distancia, como puedes ver.

Podrías responder, "¿Y si estuvieras en el origen para empezar? Entonces la distancia y la variación de distancia serían las misma cosa". Serían el mismo número, sí. Pero matemáticamente el cálculo seguiría involucrando una resta, si lo escribieras al completo. Siempre implicaría que ΔΔx = Δx(final) - Δx(inicial) = Δx(final) - 0. Tu número final sería el mismo número, y la magnitud sería la misma, pero conceptualmente no es lo mismo. Digamos que Δx y ΔΔx se miden ambas en metros, pero no son lo mismo conceptualmente.

Una manera de aclarar parte de esta confusión es diferenciar entre longitud y distancia. En física, se intercambian a menudo. En nuestros problemas de ritmo de cambio, tenemos que crear más claridad asignándoles una palabra a cada situación en exclusiva. Asignémosle longitud a Δx y distancia a ΔΔx. Un número cardinal representa la longitud desde cero. Es la extensión entre dos puntos estáticos, sin ningín movimiento implicado. Uno tendría que moverse para ir de uno al otro, pero una longitud no implica a la variable temporal, no implica un cambio en el tiempo. Una longitud puede existir en ausencia de tiempo. Una distancia, sin embargo, no puede. Una distancia implica la presencia de otra variable, incluso si esa variable no es una variable física como el tiempo. Por ejemplo, viajar realmente desde un punto a otro requiere tiempo. La distancia implica movimiento, o implica un cambio de segundo orden. Una longitud es un cambio estático en x. Una distancia es un movimiento desde un x a otro.

N. del T. Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"