26 agosto, 2013

Una redefinición de la derivada (V)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el sexto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"


Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].

Parte CincoDemostración


Ahora, veamos lo que nos dice el valor actual de la derivada, de acuerdo con mi tabla. Si tenemos una ecuación de una curva, digamos

Δt = Δx3

Entonces la derivada es

Δt' = 3Δx²

De mi tabla podemos ver que

3ΔΔΔx² = ΔΔΔΔx³

Así que

3Δx² = ΔΔx³

[Las deltas se pueden cancelar a ambos lados de estas igualdades en concreto]*

Y entonces,

Δt' = 3Δx² = ΔΔx³
Δt = Δx³

Por lo tanto,

Δt' = ΔΔt

La derivada es simplemente el ritmo de cambio de nuestra variable dependiente Δt. Pero repito, es el ritmo de cambio de una longitud o periodo. No es el ritmo de cambio de un punto o un instante. Un punto en la gráfica representa un valor para Δt, no un punto en el espacio. La derivada es el ritmo de cambio de una longitud (o un periodo de tiempo)

*¿Por qué podemos cancelar las deltas aquí? Es una pregunta muy importante. ¿Es una delta una variable? ¿Son todas las deltas iguales unas a otras? La respuesta es que una delta no es una variable; y que cada delta no es igual. Por lo tanto las reglas de cancelación son un poco complicadas. Una delta no es un símbolo matemático que pueda aparecer aislado. Nunca lo verás solo. Está conectado a la variable a la que precede. Una variable y todas sus deltas deben tomarse por lo tanto como una sola variable. Esto parecería implicar que cancelar deltas está prohibido. Sin embargo un análisis concienzudo muestra que en algunos casos se puede hacer. Una variable y todas sus deltas representan un intervalo o diferencial. En un punto concreto de la gráfica, eso sería un intervalo particular. Pero en una ecuación general, representa todos los posibles intervalos de una variable. Como puedes ver en mi tabla, algunas variables delta tienen el mismo valor de intervalo en todos los puntos. La mayoría no. Las variables de exponentes altos con pocas deltas tienen grandes ritmos de cambio. Sin embargo, todas las líneas de la tabla dependen de la primera. Ten en cuenta que cada línea se puede leer como, "Si Δx = 1,2,3, etc., entonces esta línea es cierta" Puedes verlo si sustituyes esos valores de Δx en cada línea, para obtener esa línea. Cada línea de la tabla es una reelaboración de la primera. La línea tres es lo que pasa cuando elevas al cuadrado la primera línea, por ejemplo. Así que la variable subyacente Δx es la misma en cada línea de la tabla. Por lo tanto, si montas una igualdad entre una línea y otra, los ritmos de cambio se pueden relacionar. Son todos ritmos de cambio de Δx. Por eso puedes cancelar las deltas aquí.
Todo esto quiere decir que si x está en los dos lados de la ecuación, puedes cancelar deltas. De otro modo no puedes.

Ahora hagámoslo otra vez si usar lo que ya sabemos del cálculo. Demostremos la ecuación de la derivada lógicamente sólo desde la tabla sin hacer ninguna suposición de que la ecuación histórica es correcta. De nuevo, se nos da la ecuación de la curva y una curva en una gráfica. Δt = Δx³
Miramos entonces mi segunda tablita para encontrar Δx³. Vemos que la diferencia es constante (6) cuando la variable cambia a este ritmo: ΔΔΔΔx³. Dirás, "Espera, explica eso. ¿Por qué fuiste a ese sitio de la tabla? ¿Qué nos importa si la diferenia es constante?" Nos importa porque cuando la diferencia es constante, la curva ya no se curva más sobre ese intervalo. Si la curva ya no se curva más, tenemos una línea recta. La línea recta es nuestra tangente. Es lo que estamos buscando.

Ahora mostremos lo que significa 2ΔΔx = ΔΔΔx². La ecuación nos está diciendo "dos veces el ritmo de cambio de x es igual al 2RoC de x²". Eso es algo así como decir "dos veces la velocidad de  es igual a la aceleración de x²". Estas igualdades son solo igualdades numéricas. No implican relaciones espaciales. Por ejemplo, si digo, "Mi velocidad es igual a tu aceleración", no estoy diciendo nada acerca de nuestras velocidades. No estoy diciendo que nos estemos moviendo del mismo modo o cubriendo el mismo espacio. Solo estoy destacando una igualdad numérica. El número que calculo para mi velocidad simplemente resulta que es el número que estás calculando tú para tu aceleración. Es una relación numérica. Esta relación numérica es la base del cálculo. La tabla de arriba es simplemente una lista de algunas relaciones numéricas más complejas. Pero no son muy complejas, obviamente, puesto que todo lo que tuvimos que hacer fue restar un número del siguiente.

Ahora veamos otra vez nuestra ecuación dada, Δt = Δx³

¿Qué nos está diciendo exactamente la ecuación? Cómo la gráfica nos da la curva—la define, la visualiza, todo—deberíamos ir a la gráfica para descubrirlo. Si queremos dibujar la curva, ¿Qué es lo primero que hacemos? Sustituimos números en Δx y vemos lo que obtenemos para Δt, ¿No? ¿Qué números le damos a Δx? Los enteros, por supuesto. Puedes ver que si ponemos los números enteros, entonces Δx cambia a un ritmo de uno. Ponemos primero el 1, luego el 2 y así sucesivamente. Así que Δx cambia a un ritmo de uno. Como demostré arriba, no tenemos que poner enteros. Incluso si ponemos fracciones o decimales, Δx seguirá cambiando a ritmo uno. Sólo que no sería tan fácil pintar la curva. Si Δx cambia a ritmo uno, entonces Δt cambiará a ritmo Δx³. Eso es lo que nos dice la ecuación.

Ahora que somo claros respecto a qué representa cada cosa, estamos preparados para la demostración.

Se nos da Δt = Δx³
Encontramos en la tabla que 3ΔΔΔx² = ΔΔΔΔx³
Simplificamos 3Δx² = ΔΔx³
Buscamos ΔΔt
Nos damos cuenta de que  ΔΔt = ΔΔx³, puesto que podemos añadir una delta a ambos lados*
Sustituímos ΔΔt = 3Δx²
ΔΔt = Δt'
Así que
 Δt' = 3Δx²

Ahora explicaré los pasos detenidamente. La ecuación final se lee, al completo: "Cuando el ritmo de cambio de la longitud Δx es uno, el ritmo de cambio de la longitud (o periodo, este caso) Δt es 3Δx²". La primera parte de esa frase se presupone dadas mis explicaciones anteriores, pero es bueno para nosotros verla escrita aquí, en el lugar adecuado.  Porque nos dice que cuando obtenemos la derivada, estamos obteniendo el ritmo de cambio de la primera variable (la variable prima) cuando la otra variable cambia a ritmo uno. Por lo tanto no dejamos que ninguna variable se acerque a un límite o que tienda a cero. Repitiéndolo, ΔΔx no tiende a cero. Es el número uno.

Esta es la razón por la que puedes dejar que se esfume del denominador de la prueba actual del cálculo. En la prueba actual la fracción Δy/Δx (que sería ΔΔy/ΔΔx en mi notación) se lleva a un límite, en cuyo caso Δx tiende a cero, se nos dice. Pero de alguna manera la fracción no tiende a infinito, sino a Δy. La explicación histórica nunca fue satisfactoria. He mostrado que es simplemente porque el denominador es uno. Un denominador de uno siempre se puede ignorar.

*Se nos permite añadir deltas a ambos lados de la ecuación en este caso porque estamos añadiendo las mismas deltas. Las deltas no son siempre equivalentes, pero podemos multiplicar ambos lados por deltas que sean equivalentes. Lo que pasa es que tenemos una igualdad para empezar. Luego le damos el mismo ritmo de cambio a ambos lados: así que la igualdad se mantiene.

Ahora podrías preguntar, "OK, pero ¿Cómo sabías que buscabas ΔΔt? Has mostrado arriba que la demostración actual lo busca, pero se supone que tú estabas demostrando sin asumir nada de la demostración actual ni del uso del cálculo. ¿Por qué lo buscabas? ¿Qué representa según tu interpretación? ¿Qué pasa en la gráfica o en el mundo real que ΔΔt explique?"

Buena pregunta. Respondiéndola puedo finalizar practicamente esta demostración. Ya he enseñado que  por la forma misma en que la ecuación y la gráfica se generan, podemos ver que debe ser cierto que ΔΔx = 1. Sabiendo esto, ¿Qué buscamos? La tangente a la curva en la gráfica. La tangenete a la curva en la gráfica es una línea recta que toca la curva en (Δx, Δt). Cada tangente toca la curva en sólo un (Δx, Δt), de otro modo no sería la tangente y la curva no sería una curva diferenciable. Como la tangente es una línea recta, su pendiente será ΔΔt/ΔΔx. Así que necesitamos una ecuación que nos de un ΔΔt/ΔΔx para cada valor de Δt y Δx de nuestra curva. Nada puede ser más simple. Sabemos que ΔΔx = 1, así que símplemente buscamos ΔΔt. ΔΔt/ΔΔx = ΔΔt/1 = ΔΔt.

ΔΔt es la pendiente de la tangente en cada punto de la curva de la gráfica.
Si Δt = Δx³
Entonces ΔΔt = 3Δx²

N. del T. Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"