30 septiembre, 2013

El primer gran error de Bohr




En este artículo revelaré el primer error matemático de importancia de la Mecánica Cuántica. Como prometí en otros artículos, he ido al principio de todo, para volver a calcular todas las ecuaciones. Antes del Principio de Incertidumbre de Heisenberg, antes del problema de la superposición, antes del problema del experimento de doble rejilla y antes de todos los otros problemas teóricos, existían las matemáticas fundamentales de la Mecánica Cuántica. Esta era la base y la expresión de la teoría, y aún lo es. Las matemáticas que analizaré aquí se enseñan todavía hoy como base firme de la QED(Electrodinámica Cuántica). Todos los estudiantes de físicas se aprenden estas matemáticas cuando se les enseña por primera vez el Modelo de Bohr.

Por supuesto, el Modelo de Bohr ha sido superado hace tiempo, pero las matemáticas que muestro abajo nunca se corrigieron. Todavía infecta la QED a nivel fundamental, pues estas expresiones en concreto se usan para obtener todas las matemáticas existentes de la Teoría Cuántica. Estas matemáticas subyacen e infectan las ecuaciones de Schrodinger y todas las expresiones y teorías subsiguientes.

Las matemáticas de Bohr


Al determinar las órbitas permitidas, Bohr igualó primero la fuerza centrípeta electrostática sobre el electrón a la aceleración centrípeta, con esta ecuación

F = m·a = m·v²/r
m·v²/r = k·e²/
m·v² = k·e²/r

Bohr usa entonces las ecuaciones siguientes para expresar el momento angular del electrón:

L = r·m·v
L = n·h/2π

Donde h  es la constante de Planck

r·m·v = n·h/2π
k·e²/r = m[n·h/2π·m·r
r = h²n²/(4π²m·k·e²)
rsub1/sub = h²/(4π²m·k·e²)

Este es el radio de Bohr, que se nos dice que está en concordancia con el tamaño observado de los átomos de hidrógeno.
Y podemos volver y hallar una ecuación para v:

v = [h/(2π·m)][4π²m·k·e² /h²] = 2π·k·e²/h = 2.18x10⁶ m/s

Luego, hallamos la energía de la órbita:
E = K + U = m·v²/2 + U
m·v² = kZe²/r      (donde Z es el número atómico)
E = kZe²/(2r) – kZe²/r
E = -kZ /(2r)
Esub1/sub = -13.6 eV


El problema


El problema es que por alguna razón Bohr ha usado el momento rotacional, pero no la energía cinética rotacional. Asume que el momento del electrón se expresará por una ecuación que incluye el radio (L = m·r·v), así que tenemos un momento angular. Pero cuando halla la energía cinética del electrón, usa la ecuación de traslación directa—una que no incluye el radio. Dirás que incluye el radio después de hacer la sustitución, pero eso no cuenta. La primera ecuación es una ecuación de traslación que contiene la variable v, no la variable ω. La sustitución se hace en la variable v, que no es una velocidad angular en ninguna ecuación. En la ecuación E = m·v²/2 + U, v es una velocidad en línea recta. Podemos hacer la sustitución precisamente porque se asume que las dos son velocidades de traslación.

La teoría actual siempre nos asegura que el movimiento de rotación se debe expresarse con variables de rotación. En los capítulos de los libros de física que versan sobre energía cinética rotacional, se nos da esta ecuación para la energía cinética rotacional:

K = m·v²/2
v = ω
K = m(ω)²/2 = I·ω²/2

¿Por qué no usó Bohr esta ecuación? Porque no fue capaz de hacer que sus cálculos coincidieran con los valores experimentales.

Dirás, "Puedes usar la ecuación que quieras de las dos, porque, como acabas de mostrar, son equivalentes: m(ω)²/2 = m·v²/2

Te responderé, "¿Lo son? ¿Me estás diciendo que en la ecuación K =  m·v²/2, la velocidad es v = 2πr/t?" Sin duda alzarás las manos frustado y dirás, "¡Claro, sustituye y ya está, so tonto!" Pero no has captado mi razonamiento por cabezonería. Sé que son transferibles—te lo acabo de mostrar—pero no son la misma. No puedes medir una velocidad en línea recta con π y un radio, porque no tienes π y el radio. Y no puedes medir una velocidad de rotación con una distancia, porque necesitas π y un radio.

Una compensación de errores salvó a Bohr en todas las ecuaciones de arriba. Llegó a los valores experimentales sólo manipulando con argucias las matemáticas para arreglar los errores conceptuales. El error conceptual fundamental aquí está en asumir que la variable v  en v = 2π·r/t es una velocidad tangencial instantánea. No lo es. Es una velocidad orbital. Esta velocidad describe un arco de circunferencia; se curva; no puede ser una velocidad tangencial. El vector de velocidad tangencial es un vector en línea recta con la base en la tangente. No sigue la curva del arco en ningún intervalo, ni siquiera uno infinitesimal. Newton nunca declaró que la variable v de su ecuación fuera la velocidad tangencial. En mi artículo sobre la ecuación a = v²/r, lo muestro de forma detallada, citando a Newton directamente de sus Principia, y rehaciendo su derivación con el verseno. Incluso en el intervalo definitivo, o en el límite, la velocidad tangencial y la velocidad orbitales son diferentes.

La velocidad orbital y la velocidad angular son en realidad la misma cosa. La velocidad orbital es simplemente la velocidad angular dado un radio. Ambas se curvan. La única diferencia es que la velocidad angular se mide en radianes y la orbital se mide en metros. Esas es la razón de que sólo difieran en r. La variable v, tal como se usa en la mayor parte de los sitios de arriba, no es más  velocidad tangencial que la variable ω. Sugiero una nueva letra para notar la velocidad orbital, y supongo que para este artículo, w será suficiente.

v = x/t
ω = 2π/t
w = 2π·r/t
a = w²/r
L = r·m·w

Las últimas dos ecuaciones muestran cómo Bohr se salvó de su primer error. La variable es una velocidad orbital en los dos sitios, lo que salva su sustitución. Ninguna de las variables de velocidad es una velocidad de traslación ni tangencial, aunque los libros de texto sigan diciéndonos que lo son.

Sus ecuaciones para la energía se salvan de forma diferente. Puedes ver que está intentando hacer una sustitución directa de w por v, cosa que no puede funcionar. Pero debería estar buscando la energía cinética de rotación para su electrón, no una energía cinética de traslación. Es decir, debería escribir sus ecuaciones de energía en términos de w, no de v. Así que las ecuaciones deberían desarrollarse así:

m·w2 = kZe²/r
E = m·w²/2 + U

En cuyo caso las ecuaciones funcionan como antes.

Sé que la mayoría de los físicos verán mis correcciones como menudencias. No le prestarán atención a esa sutilezas, pues las ecuaciones dan los valores correctos, tanto en la vieja forma con en mi nueva forma. Desecharán mis argumentos como semántica y metafísica, o algún otro epíteto de la ciencia contemporánea.

Pero mi corrección aquí es estrictamente matemática. Parte de las matemáticas aplicadas es la asignación de variables. Una asignación de variables poco cuidadosa se debe apañar luego con una asignación de una ecuación sin rigor también, para poder terminar en demostraciones como las de arriba. Las variables mal asignadas se asignaron mal del mismo modo en las derivaciones del radio de Bohr, de modo que no tuvo que hacer nada más para que las ecuaciones funcionaran. Pero con la energía cinética, tuvo que hacer una mala asignación más para que funcionara. Tuvo que asignar mal una ecuación entera, dándole al electrón energía de cinética de traslación en vez de rotatoria.

Nadie parece avergonzarse de esto desde entonces, pero es más que un error cosmético. Como mostraré en artículos posteriores, es justo este tipo de errores lo que nos ha llevado a los puntos muertos teóricos a los que nos enfrentamos ahora. Las compensaciones de Bohr eran menores. En las ecuaciones de arriba necesitó sólo unas pequeñas argucias matemáticas. Pero muy pronto esas argucias aumentaron como una bola de nieve en la QED. Poco después las expresiones necesitaron argucias enormes como la renormalización. La mayoría de los físicos contemporáneos no parecen avergonzarse de la renormalización. Pero deberían. Mostraré que si eres riguroso con tus matemáticas en todo momento, no necesitas renormalización alguna. El truco está en mantener las ecuaciones "normales" desde el principio.

En mi artículo sobre Newton, predije un "desastre en la energía cinética" debido a la forma de F = m·a = m·v²/r. Dije que una sustitución inadecuada era inminente al no diferenciar de forma correcta entre velocidad orbital y velocidad tangencial. El término mv²/r es un término estrictamente de rotación, pero no hay nada más que teorías conceptuales sutiles para evitar que alguien la aplique a una situación de energía cinética de traslación. Bohr sólo ha evitado la catástrofe, pues su electrón está realmente en movimiento circular. Pero ¿Y si un electrón en órbita expulsa un fotón, y se asume que ese fotón es expulsado desde la tangente? El fotón estaría ahora en movimiento lineal, no circular. ¿Cuál es su energía cinética? Puedes ver el problema.

Más aún, no hay en realidad ni siquiera una teoría conceptual sutil para impedir que nadie haga esta sustitución incorrecta, pues la teoría actual lo permite. Sólo mi teoría lo impide. Esa teoría conceptual sutil es hasta ahora solamente la mía.

La teoría actual cree que la variable de velocidad en a = v²/r es una velocidad tangencial instantánea. Eso la haría igual que una velocidad traslacional. Esas es la razón de que la teoría actual use la misma variable para ambas. Y esa es la razón de que las demostraciones de Bohr siguieran la forma que siguieron y de que nunca se hayan corregido. Esa es la razón de que todos los libros de texto de física moderna confundan y mezclen la velocidad tangencial y la velocidad orbital.

Y esa es la razón por la que repito mi predicción: esta sustitución incorrecta se encontrará en la raíz de algún punto muerto matemático de la física contemporánea. Si no la extirpo de la QED muy pronto, me sorprendería bastante.

Actualización: He revisado la ecuación de Bohr completamente, hallando un nuevo valor para el radio de Bohr. Se muestra que la constante de Coulomb es una expresión del radio de Bohr. Ve a mi artículo sobre el Magnetón de Bohr[por traducir].

Original en milesmathis.com

Traducción de Roberto Conde