20 septiembre, 2013

Una corrección de la ecuación a = v²/r (II)

Una corrección de la ecuación

a = v²/r

(y una refutación de los lemas de Newton VI, VII, y VIII).


N. del T.: Este es el segundo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A correction of the equation a = v²/r (and a Refutation of Newton's Lemmae VI, VII & VIII)"

La derivación de Newton.

Newton usó la ecuación a = v²/r para atar su famosa ecuación de la gravitación universal a la Tercera Ley de Kepler. Esto es,

 F = Gm1m2/r²  se transforma en
 t²/r³ = 4π²/Gm2   simplemente asumiendo
 a = v²/r

La derivación completa está en todos los libros de texto y no la repetiré aquí. Sólo la menciono para mostrar que a = v²/r ha sido una ecuación fundamental desde el principio. Newton mismo la trató casi como un axioma. "Demostró" la ecuación en una parte muy temprana de sus Principia (Sección 2, Proposición 4). Digo que "demostró" porque la ecuación se introduce realmente como un corolario, con sólo un boceto de una demostración. El Corolario 1 no es más que una frase incrustada en un teorema. Este es el corolario 1, al completo:
"Por lo tanto, como esos arcos son las velocidades de los cuerpos, las fuerzas centrípetas están en una proporción compuesta de una parte duplicada de las velocidades directamente, y de una parte simple del radio inversamente".
En español actual, sería:
"Como el arco describe la velocidad, la aceleración es el cuadrado de la velocidad partido por el radio".
Newton podría contestar que su frase no contiene una implicación de igualdad exacta. Simplemente dijo que la fuerza era proporcional al inverso del radio. Por lo tanto, si la igualdad no es exacta, nunca existió el error.

De hecho, en el párrafo anterior, ya dijo, "Esas fuerzas tienden a los centros de los círculos y son una a la otra como los versenos de los arcos menores descritos en tiempos iguales; es decir, como los cuadrados de los mismos arcos aplicados a los diámetros de los círculos." Leo esto para que se entienda que, de acuerdo con la geometría aplicada al problema, son los diámetros los que entran en la proporción, en primer lugar. Newton pasa de diámetros a radios diciendo simplemente, "como los diámetros son como los radios." Para mí, esto demuestra más allá de toda duda que está hablando en esta sección de relaciones proporcionales, no de igualdades. Tanto el radio como el diámetro son igualmente proporcionales, dado que la proporcionalidad no tiene en cuenta las magnitudes de primer orden. Si eres proporcional a 2x, eres proporcional a x.


La derivación actual de la ecuación nunca menciona el método de Newton que usaba el verseno, se supone que porque el conocimiento de los versenos ya no es común. Os puede ser que el método no se mencione porque es muy difícil asimilarlo. Mostraré que se acerca mucho más a la resolución del problema que la derivación actual. Esto no debería ser una sorpresa muy grande, considerando al autor.
Sin embargo, al apoyarse en los hombros de Newton, la ciencia moderna debería haber visto más lejos finalmente, o eso debería esperarse, dados los 300 años que ha tenido para perfeccionar su trabajo. En lugar de eso, parece que esos años sólo han servido para volverse miope, reemplazando una derivación con ligeras imperfecciones por una que es una vergüenza matemática.

Como demuestro más abajo que la derivación actual fracasa estrepitosamente, creo que debo analizar también la derivación original de Newton, para mostrar que la ciencia, en última instancia, no ha caído en la ignominia de reemplazar una derivación correcta por una incorrecta. Tanto la de Newton como la actual tienen errores fundamentales al analizar el movimiento circular.

Newton propone un cuerpo que se mueve desde A a B, se le aplica una fuerza que lo hace girar, y continúa hasta C. Tenía una velocidad constante para empezar, por lo tanto AB = Bc = BC. Newton postula que c es donde el cuerpo habría llegado sin la fuerza aplicada. Busca el tamaño y la dirección de la fuerza que gira al cuerpo de c a C. Asume que d es el vector de aceleración causado por esa fuerza, puesto que es la diferencia de las dos velocidades.

En trigonometría, el verseno es simplemente la sección externa del radio, cuando el radio se ha cortado por una recta que viene del lado lejano del arco. Newton nunca dibuja esta recta en sus diagramas de los Principia, lo que resulta interesante. A Newton le gustaba ocultar sus matemáticas, por la razón que sea. Se asume que la razón era mantener a los competidores haciendo suposiciones, pero en este caso me parece que se trata de algo de ofuscación. Esconder buenas matemáticas puede ser un juego astuto de intriga y misterio para algunos, pero esconder malas matemáticas siempre es algo más pobre. Lo que Newton está escondiendo aquí podría estar más claro en el siglo XVII, pero ahora es muy arcano. El verseno tiende a cero muy rápido para ángulos muy pequeños, de modo que podría enfrentarse a la ecuación de la que se llama sagita o flecha:
verseno = h²/2r
donde h = rθ

Newton propone que, en el límite, h = el arco. Y, dado que el verseno es proporcional a la fuerza centrípeta, la aceleración debe ser proporcional al arco²/2r. Más aún, dice, el arco es igual a la velocidad, así que es proporcional a v²/2r. Pero, el verseno es sólo la mitad de la fuerza, dice [ver Proposición I, Corolario IV], así que la aceleración completa se convierte en a = v²/r. Puedes ver que la ecuación de la flecha es la clave para entender la derivación de Newton. Newton no revela nada de esto en los Principia, pero es la única manera de comprender sus comentarios sobre el verseno.

Esa es la matemática oculta por Newton, tal cual. Está refinada de distintas maneras, una de las cuales es el uso del Lema VII. En el Lema VII, Newton afirma que en el límite (cuando el intervalo entre dos puntos tiende a cero), el arco, la cuerda y la tangente son todas iguales. Pero si esto es cierto, entonces tanto la diagonal como el verseno deben ser cero. De acuerdo con el Lema VII, todo tiende a cero o a la igualdad en el límite, lo que no es muy útil para calcular una solución. Ni la ecuación del verseno ni el teorema de Pitágoras se aplican cuando vamos al límite por la definición de Newton. Mostraré más abajo, con un análisis muy simple, que a la tangente se le debe permitir ser mayor que la cuerda en el límite; solo entonces se puede resolver el problema sin contradicción.

Antes de que haga eso, es interesante hacer notar que Newton casi consigue la respuesta correcta, a pesar de algunos lemas defectuosos. El verseno nos dará la respuesta correcta, siempre que analicemos el intervalo correcto. El verseno se hace igual a a sólo si consideramos la longitud del arco de A hasta b. Newton estaba considerando la longitud del arco desde A hasta C. Debemos soltar la perpendicular desde b en lugar de C, para conseguir el verseno correcto. Si hacemos esto, de hecho encontramos que verseno =  en el límite.

Una vez que hemos encontrado a de este modo, no hay necesidad de doblarlo, puesto que al hallar el verseno usamos el ángulo θ y la longitud del arco de A hasta b. Ese debe ser por tanto nuestro intervalo. Podrías decir que la única diferencia del método de Newton y mi corrección es que el halla la fuerza durante el intervalo de A hasta C, mientras que yo encuentro la fuerza desde A hasta b. Su fuerza es dos veces la mía, y su arco es dos veces el mío, por lo tanto todo debería quedar igual. Pero no es tan sencillo.

Lo que hallamos mediante el método de Newton una vez que descubrimos d, es la fuerza necesaria para mover al cuerpo desde C a lo largo del intervalo de B a C. Estoy de acuerdo en que esta fuerza es:
= 2a = v²/r

Newton luego extiende esa fuerza durante el intervalo de A a C, y tenemos nuestra ecuación actual. Obviamente, la fuerza para llevar el cuerpo de A a C es el doble de la fuerza que hace falta para llevarka de A a b. Si admito que =v²/2r entonces debo aceptar que d = v²/r. Admito eso. Pero todavía hay un gran problema. Newton se ha ido al límite para hallar d. Yo he ido al límite para hallar a. Se supone que ambos deberíamos estar en la proporcion definitiva. He mostrado que, sin embargo, lo que él encuentra es la solución a lo largo de no uno sino dos intervalos. Él empieza la Proposición I con esto: "Pues supongamos el tiempo dividido en partes iguales, y en la primera parte de ese tiempo, dejemos al cuerpo por su fuerza innata describir la línea recta AB. En la segunda parte de ese tiempo, el mismo procederá directamente hasta c, a lo largo de la línea Bc igual a AB." Así que ha postulado dos intervalos de tiempo. No puedes postular dos intervalos de tiempo y luego postular que estás en el intervalo definitivo. El intervalo definitivo es el último intervalo de la serie. No se puede dividir más, por una variable temporal ni por otra cosa. Por lo tanto d = v²/r debe aplicarse a dos intervalos de tiempo. Es la fuerza que se requiere para mover al cuerpo dos veces la distancia del arco definitivo, por el propio razonamiento de Newton.

A lo mejor ya puedes ver que es mucho más lógico simplemente que sea Ab el intervalo definitivo, de modo que el arco Ab esté compuesto de los vectores AB y Bb. Entonces podemos resolver a usando tanto un verseno como el teorema de Pitágoras—que es lo que hago más abajo. En ambos casos hallamos que en el intervalo definitivo, a=v²/2r.


Quiero remarcar una cosa antes de que sigamos. He citado a Newton arriba diciendo que el arco era la velocidad, como se derivaba de su método y de sus ecuaciones (que persisten hoy día). Esto quiere decir que la variable v en todas las ecuaciones finales se debe entender que representa la velocidad orbital. No es la velocidad tangencial. La velocidad tangencial se representa con un vector en línea recta a lo largo de la tangente. Eso significa que se mueve en esa dirección. Eso es lo que el vector representa. La velocidad tangencial no se curva, y no sigue la curva del arco. En el diagrama de arriba, la velocidad tangencial sobre el primer intervalo es AB y la velocidad orbital es Ab. Newton nos da la velocidad tangencial para empezar cuando nos da AB; después buscamos la velocidad orbital. La velocidad que sigue la curva del arco es la velocidad orbital, y es la variable de velocidad en la ecuación final de Newton v²/r. Históricamente, los físicos no han mantenido estas dos variables de velocidad separadas, pero debes aprender a hacerlo a medida que sigas los argumentos y los diagramas de este artículo. Las dos velocidades se han mezclado, y cuando vamos a ecuaciones modernas como v = rω, hay confusión acerca de qué v estamos tratando. Los libros de texto contemporáneos nos dicen que la v de esa ecuación es velocidad tangencial, pero no lo es. Es velocidad orbital.


Analizando más el problema, demostraré que el arco no describe la velocidad—ni ninguna velocidad real—y que necesitamos una ecuación más para expresar a en términos de la velocidad tangencial. La velocidad tangencial y la velocidad orbital no son la misma cosa—aunque por el Lema VII de Newton se hayan tomado por la misma cosa a lo largo de la historia. La velocidad tangencial es la tangente y la orbital es el arco. El Lema VII dice que tienen la misma longitud en el límite. Demostraré que esto es falso. Más allá de eso, te pediré que consideres el hecho elemental de que un arco es una curva. Una curva no puede describir una velocidad, puesto que por definición la velocidad no puede curvarse. Una curva describe una aceleración, como todos sabemos. La velocidad orbital es una velocidad sólo durante el intervalo definitivo—donde se vuelve recta. Pero incluso ahí, no es la misma que la velocidad tangencial, como demostraré.

También puede merecer la pena señalar que la ecuación lineal básica para la aceleración es v² = v0² + 2ar. Está en el capítulo primero de la mayoría de los libros de física. Me llevó varios años después de escribir este artículo recordar que se reduce a:
v² = 2ar
v² /2a

Increíble, realmente, que nadie haya pensado en conectar esas dos ecuaciones.