21 septiembre, 2013

Una corrección de la ecuación a = v²/r (III)

Una corrección de la ecuación

a = v²/r

(y una refutación de los lemas de Newton VI, VII, y VIII).


N. del T.: Este es el tercero de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A correction of the equation a = v²/r (and a Refutation of Newton's Lemmae VI, VII & VIII)"

La solución actual.

Newton nos proporcionó una demostración matemática que era a la vez escueta y densa, pero los libros de texto actuales nos ofrecen una derivación ligeramente más explícita. Lo que he copiado aquí es la derivación estándar de v²/r. He cogido los pasos de abajo de un libro de texto de facultad reciente.

Esta es la derivación aceptada de v²/r :
Sea vla velocidad tangencial inicial, como se muestra en la primera ilustración.
Dado que v0 y son ambas perpendiculares a r, los dos ángulos θ deben ser iguales; por lo tanto los triángulos mostrados son semejantes;
por lo tanto a medida que  t→0,

Δv = Δr
Δv = vΔr
a = lim     Δv / Δt
      t→0
   = lim      vΔrΔt
      t→0  

Y como la velocidad, v, del objeto es

lim     Δ/ Δt
t→0

entonces:

a = v²/r

El libro dice, "Cuando Δt es muy pequeño, Δl y los ángulos son también muy pequeños, así que v será casi paralela a v0, y Δv será esencialmente perpendicular a ellos. Por lo tanto Δv apunta hacia el centro del círculo."
Los errores que hay aquí son muchos. Sin tener en cuenta la disposición conceptual y el cálculo por un momento, déjame atacar el problema más importante primero. En esta derivación el libro de texto asume que la variable v de la última ecuación es la misma que la v de la primera. Pero no lo es. En la primera línea de la derivación, la variable v representa la velocidad tangencial. Cuatro líneas más tarde se nos dice que:
"la velocidad del objeto, v, es 
lim     Δ/ Δt "
t→0

¡Pero esa es la velocidad orbital! La variable v ha sido intercambiada. Puedes ver que v en su primer diagrama no es lim Δlt, pues es la velocidad curvada de A a B: v es sólo una componente de esa velocidad; ¡v es una linea recta! Pero el libro sustituye una por la otra. Es decir, vΔl/rΔt se transforma mágicamente en v²/r.

Pero si 
 v   ≠   lim    Δl / Δt 
           t→0
Entonces la sustitución debe fallar. Si falla, la derivación falla con ella.

Un análisis más profundo de la situación nos muestra que v es la velocidad tangencial, Δlt es la velocidad orbital, y que nunca serán iguales—en ningún intervalo, ni siquiera un intervalo infinitésimo. El libro necesita subíndices para diferenciar las dos, por ejemplo vt y vorb
vorb = Δl pero  vt  ≠ Δlt

Así que la ecuación v²/r debería leerse  vtvorb/r, si el libro está siguiendo su propio método en profundidad.
v²/r ≠ vtvorb/r

Finalmente está poco claro si v en la ecuación actual se aplica a la velocidad orbital o tangencial, dado que la derivación hace ambas suposiciones.

Para aquellos que ya se sientan confusos, dejadme decirlo de un modo ligeramente diferente. Esta derivación moderna es un acto de prestidigitación. Como un mago renegado, desvelaré la magia para tí. Vuelve a la ilustración y date cuenta de que han etiquetado las dos velocidades tangenciales como v0 y v. ¿Por qué? Los dos vectores son velocidades tangenciales, sólo que están en posiciones diferentes. Pero es en la longitud o los valores numéricos de los vectores en lo que estamos interesados, no en sus posiciones. Los valores numéricos son los mismos, así que los vectores deberían etiquetarse del mismo modo. En valores,  v0 = v, así que etiquetarlos de forma diferente es sólo un truco. Es este truco el que les permite aquí a los magos forzarte de v0 a v, y completar así esta demostración fraudulenta. Mira de nuevo a la ecuación:
Δv = Δr
Pregúntate, ¿No debería ser así?
Δv0  = Δ
Ahí es donde se ha hecho el intercambio. Ahí es donde la mano es más rápida que el ojo. Como puedes ver, v0 se ha cambiado por v, de modo que el arco se define también como v, y los dos se ven iguales en esa página. Luego los magos pueden sustituir uno por el otro, y conseguir el resultado deseado.

Sorprendente, en realidad, encontrar una trampa tan burda en matemáticas y físicas fundacionales.

Pero hay más problemas aún. Date cuenta de que los magos se permiten hacer sustituciones en una ecuación de un límite. Estoy hablando de la ecuación:

a = lim     Δv / Δt
      t→0

Sustituyen Δpor  Δr  ahí. Pero no puedes hacer eso, porque esas variables están capturadas por el signo del límite. Esa ecuación se lee: "El límite del cambio de v dividido por el cambio de cuando t tiende a cero" No es lo mismo que simplemente el cambio de v dividido por el cambio de t. No se permite la sustitución. Después de la sustitución, tienes el límite de Δ donde antes tenías el límite de Δv. Para hacer la sustitución, tienes que asumir que las dos variables delta se acercan al límite de la misma forma, pero no puedes asumir eso. La razón concreta por la que no puedes asumirlo aquí es que las dos deltas no son equivalentes. Δ, como  Δt, es un intervalo simple. Pero Δes un cambio en la velocidad, que no es un intervalo simple. Un cambio en la velocidad ya es una aceleración, por definición, lo que significa que no es el mismo tipo de variable que Δl. En cálculo, tienes que derivar longitudes y velocidades y aceleraciones, normalmente con variables prima, pero aquí no tenemos nada de eso. Una aceleración parece una longitud aquí, sin diferencias en la notación.

Y los problemas continúan. La parte (b) de la ilustración al completo es falsa. Δv ≠ v - v0, porque estas matemáticas se refieren a los valores, como ya dije. El valor numérico de v es el mismo que el valor numérico de v0, así que Δv aquí sólo puede ser cero. Un cuerpo en órbita no cambia el valor numérico de su velocidad. Tiene una velocidad constante. La diferencia entre v y v0 sólo un ángulo. Así que a resolver de este modo sólo puede llamársele perverso. Ni siquiera Newton intentó restar una tangente de la otra. Mira de nuevo su derivación. Analiza longitudes y velocidades y aceleración en el mismo intervalo, no en intervalos seguidos. El vector v no debería ser parte de este análisis, y usarlo para fabricar una demostración aquí es sólo matemáticas extravagantemente malas.