22 septiembre, 2013

Una corrección de la ecuación a = v²/r (IV)

Una corrección de la ecuación

a = v²/r

(y una refutación de los lemas de Newton VI, VII, y VIII).


N. del T.: Este es el cuarto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A correction of the equation a = v²/r (and a Refutation of Newton's Lemmae VI, VII & VIII)"

La variante de Feynman.

Algunos dirán que simplemente he cogido un mal ejemplo de la demostración de un mal libro de texto. Para responder a esto, proporcionaré una demostración completamente diferente de un libro completamente diferente. Criticaré una demostración de Richard Feynman. Se nos dice que Feynman es famoso por explicar problemas difíciles de forma clara y concisa. Tomaré la demostración de Six Not-so-easy Pieces.

Feynman modifica un poco el problema por buenas razones. Eso no sacará de nuestro camino, quizás. Postula una velocidad a lo largo de una curva, no necesariamente un círculo.


Como puedes ver en sus diagramas, la velocidad tangencial varía y eso nos da dos componentes de aceleración. [En el primer diagrama, puedes ignorar los pequeños vectores r y el origen o: no influyen en el problema. Y  Feynman ha dibujado el vector de Δv en el lugar equivocado a propósito. No le voy a llamar la atención por eso. Lo "corrige" en el segundo diagrama. Le voy a llamar a la atención por esa corrección.]

Dice, "La aceleración tangente al camino es por supuesto simplemente el cambio en la longitud del vector." Estoy de acuerdo. Pero señalo que en un movimiento circular uniforme esta componente de la aceleración siempre será cero, porque la longitud del vector no varía. Luego Feynman calcula la otra componente, la aceleración a ángulos rectos de la curva. Puedes ver la descomposición en su segunda ilustración. Esta ilustración aclara algunos de los puntos que quedaron difusos en la ilustración del libro de texto. Puedes ver, en primer lugar, que el ángulo recto formado por Δv┴ es donde intersecta a v2, no a v1. Luego dice que Δv┴ = vΔθ, donde "v es la magnitud de la velocidad." No especifica qué velocidad, pero está claro que se refiere a v1  porque es la hipotenusa. Esa es la única forma en que le ecuación parece funcionar, de un vistazo.

Pero ya tenemos problemas serios.
Δv┴   =  vθ  es una ecuación falsa.
Espero que puedas ver que debería ser
Δv┴  =  v·senθ

Hay más. Digamos que la aceleración tangencial resulta ser cero a lo largo de este intervalo de la curva. Volveríamos entonces al movimiento circular. Mantenemos el segundo diagrama de Feynman pero perdemos Δv║. Pero puedes ver que eso hace que sea v2 más corto que v1. El triángulo de Feynman debe ser un triangulo rectángulo para que su última ecuación funcione. Pero las longitudes no cuadran. v2  - Δv║  ≠  v1 . Eso significa que para calcular una aceleración perpendicular, debe tener una aceleración paralela negativa. Imposible lógicamente.

Feynman se mete en más problemas aún. El el siguiente paso el hace que sea a┴ = v┴/Δt. Eso debería ser a┴ = v·senθ┴/Δt. Pero para conseguir Δθ/Δt, dice, si "en cualquierm instante la curva se aproxima por un círculo de radio r, entonces en un tiempo  Δt, la distancia s es por supuesto vΔt donde v es la velocidad." Eso nos daría:
Δθ = vΔt/r
Δθ/Δt = v/r
a┴ = v2/r

Espero que puedas ver que cometió exactamente el mismo "error" que cometió en ese paso en el libro de texto. Debes volver a su primera ilustración para encontrar s. Una vez que la encuentres ves que s se curva: s es una distancia a lo largo de un arco.
Él dice que:
s  =  vΔt
Pero eso sencillamente no es cierto. Ya ha definido v commo la magnitud de v1. Por lo tanto vΔt describe una longitud en línea recta a lo largo de ese primer vector v1—no una longitud a lo largo de la curva. Ha confundido la velocidad tangencial con la velocidad orbital. Sus variables se han intercambiado del mismo modo que se hizo en el libro de texto. Y tampoco nos dice qué representa v en la ecuación final. Un lector no puede saberlo, porque la ha definido de las dos formas.

Más aún, ha ocultado arriba un paso previo a Δθ = vΔt/r . Necesita una ecuación para la longitud de arco s, que sería:
Δθ/2π = s/2πr
Δθ = s/r
Date cuenta de que no es lo mismo que senθ = s/r, por lo que la sustitución falla. Recuerda que teníamos arriba Δv┴  =  v·senθ. Puedes ver por qué Feynman omitió ese paso. No quería que sufriera ningún escrutinio. Además, la ecuación Δθ = s/r sólo funciona si se mide en radianes. Pero Feynman no puede medir el ángulo en radianes y esperar encontrar una solución de este modo. Quiere una velocidad medida en m/s no en rad/s.

Fíjate también en la extraña notación para el ángulo. un ángulo se representa simplemente por una variable, no por una variable delta. Es decir, θ en vez de Δθ. Un ángulo ya se entiende como un cambio en la dirección: la delta es superflua. Pero en estas derivaciones, tanto Feynman como el libro de texto usan la notación delta. ¿Por qué? Para que la derivación parezca funcionar. Para engañar al ojo. Trompe-l'œil. Esa delta hace que la variable parezca más de lo que es. Como una mistificación. La vez por primera vez y te dices, "¿Qué siginifica?¿Δθ?¿Significa algo más que θ?No lo sé, pero quizás Feynman lo sabe. Esta demostración tiene que funcionar, porque ya sé que a = v²/r, así que es mejor hacer como que entiendo lo que está pasando." El problema, como ves ahora, es que nadie sabe lo que está pasando aquí. La demostración es una tapadera.

Y finalmente, ten en cuenta que Feynman simplemete ha hecho una copia de la ridícula ilustración del libro de texto. Específicamente, dibuja pegado val lado final del arco. Nos avisa con una facilidad sospechosa de que la suma de vectores funciona "sólo cuando las colas de los vectores están en el mismo lugar" así que mueve la cola de vhacia la de v1. Lo que se olvida de avisarnos es que esa suma de vectores funciona solo cuando los vectores están en el mismo invervalo. Importar un vector así como así de un intervalo posterior sólo porque lo necesitas para manipular una ecuación no es mejor que dibujar vectores sin cola o con tres cabezas.

La demostración de Feynman falla. Falla en al menos tres sitios en una derivación de media página.

No estoy seguro de qué pensar de esto, francamente. Sinceramente, no sé si él y todos los demás son incapaces de seguir sencillos pasos de geometría de instituto o si hay una conspiración para ocultar estos errores. Resulta increíble que las mejores mentes del siglo XX no pudieran ver estos errores. Esta secuencia de pasos en el libro de Feynman está tan obviamente trucada que sólo puede significar que se hizo a propósito, creo yo. Puedes pensar que la ecuación de la longitud de arco se obvió porque todos la saben de memoria. Yo creo que se ocultó para ayudar a ocultar la sustitución inadecuada de senθ por Δθ. Si Feynman y otros como él no pueden ver esos errores, es una muy mala señal. Si pueden, es una muy mala señal, porque significa que somos víctimas de alguna especie de sofisma Jesuita—se nos miente por nuestro propio bien. Debemos creer que la ciencia no es otro castillo de naipes, para no salir corriendo y gritando en mitad de la noche. Por lo tanto debemos tomarnos estas derivaciones absurdas como pruebas de fe. Credo quia adsurdum. Sospecho que esta derivación se usa símplemente porque la usó Newton, y nunca hemos sido capaces de mejorarla. Lleva a los valores experimentales correctos, así que ¿A quién le importa si está llena de rotos?

Para ver mi crítica de la demostración de Maxwell de esta ecuación, puedes ir aquí[Por traducir].

Para ver mi crítica de una demostración "de ingeniero" de esta ecuación en youtube, puedes ir aquí[Por traducir].