23 septiembre, 2013

Una corrección de la ecuación a = v²/r (V)

Una corrección de la ecuación

a = v²/r

(y una refutación de los lemas de Newton VI, VII, y VIII).


N. del T.: Este es el quinto de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A correction of the equation a = v²/r (and a Refutation of Newton's Lemmae VI, VII & VIII)"

Mi solución.

Hemos visto tres derivaciones erróneas diferentes, del gusto nada menos que de Newton y Feynman (aunque probablemente no debería poner a Newton y a Feynman en la misma frase). No criticaré la derivación de Huygens aquí, porque la considero equivalente a la de Newton. Él, como Newton, mostró correctamente la proporcionalidad de la aceleración, el radio y la "velocidad". Pero no mostró incuestionablemente la igualdad. Lo haré yo ahora, mediante un método muy transparente.

[He dibujado v flotando así sólo para reflejar la ilustración del libro de texto, para mostrar lo absurdo que es realmente. En mi solución, ese vector es supérfluo.] En mi dibujo, se forma un triángulo rectángulo con el radio, la velocidad tangencial, y Δv añadido a otro radio. No importa lo corto o largo que hagas el vector de la velocidad tangencial al que pertenece el triángulo rectángulo. Ten en cuenta también que en mi ilustración Δv siempre apunta al centro del círculo. No apunta al centro sólo cuando t o Δv o el arco d es cero. Apunta al centro tanto si v0 es muy largo como si es infinitesimal. Ahora todo lo que necesitamos es el teorema de Pitágoras.

v0² + r² = (Δv + r
Δv² = v0² - 2Δv·r
Δv = a = ±(1/2)(√4r² + 4v0²] - 2r)

Si asumimos un movimiento positivo alrededor del círculo, se reduce a:

a = √ v0² + r²] -  r

En primer lugar, ten en cuenta que Δv = a. Ese vector es la aceleración centrípeta. Ese es el número que estamos buscando. He seguido el ejemplo del libro y de Feynman al posponer una descripción de lo que representa Δv. Hasta ahora. Pero está claro que Δv no es un vector de velocidad. Es un vector de aceleración. Por supuesto tan sólo la forma nos delata la diferencia. Un vector delta v no es lo mismo que un vector v. Un vector delta v es un vector de aceleración, claramente. Feynman y el libro de texto asumen que es la diferencia entre una velocidad tangencial y la siguiente: una diferencia de velocidades es una aceleración. Pero he mostrado que el vector aceleración Δv se puede calcular a partir de una sola velocidad tangencial, dado el radio. Es la diferencia entre la velocidad tangencial y la velocidad orbital, medidas a lo largo del mismo intervalo. De este modo mi análisis es un reflejo del de Newton, que decía lo mismo. Mira donde Newton define la longitud d como la diferencia entre la velocidad tangencial y la velocidad orbital, medidas durante el mismo intervalo. Mi ilustración también refleja la suya, como puedes ver. Símplemente dale la vuelta a su ilustración y su d es mi Δv. La única diferencia es que yo apunto mi vector al centro del círculo.

Alguno dirá, "Eso no funcionará. Necesitas derivar. Neceistas encontrar tus valores en un dt. Tal como está, obtendrás un valor diferente dependiendo de si resuelves para Δt = 1, Δt = 5, o Δt = dt. Un cambio en la longitud de tu vector v0 cambiará la longitud de vector a."

No, no la cambiará: v0 es una constante en el caso que estás planteando. Si estás variando los tiempos para hacer que v0 cambie en longitud, estás hablando de un círculo dado en particular. No estás hablando de cualquier círculo. Por lo tanto si incrementas el Δt de uno a cinco, por ejemplo, también estás incrementando la distancia a lo largo del vector: por lo tanto la velocidad sigue siendo la misma. Un vector velocidad más corto es ese caso no es una velocidad diferente; es la misma velocidad medida en un tiempo más corto. Si haces el cambio de Δt = 5 a dt, y el triángulo se hace más pequeño, el valor v0 no se hace más pequeño. Recuerda, la velocidad es x/t. La longitud del vector sólo expresa la x, pero siempre hay una t involucrada.

No necesitamos derivar, porque la derivación nos daría un cambio en ese vector. Necesitaríamos considerar el vector Δv una velocidad, y estaríamos calculando un cambio en esa velocidad, una ΔΔv, durante un intervalo infinitesimal dt. No sólo es innecesario hacerlo, es absurdo. Si el vector fuera una velocidad, no cambiaría en ningún intervalo, ya fuera grande o un pequeño dt. Por lo tanto a ≠ dv/dt y a ≠ Δv/dt. Esas ecuaciones sólo nos llevarían a a = 0. Δv ya es un diferencial—es la diferencia entre dos velocidades—por lo tanto sería redundante derivarlo[diferenciarlo]. El teorema de Pitágoras funciona en cualquier t, incluso en dt. Pero no hay un límite aquí, puesto que el valor de a es el mismo si lo calculas en cualquier intervalo real (un triángulo mayor) o uno cercano a cero (un triángulo pequeño).

Piénsalo de esta manera: la ecuación a = dv/dt describe un ritmo de cambio entre v y t. Si v no cambia a medida que t cambia, entonces v es una constante. La derivada de una constante es cero. Por lo tanto no tiene sentido derivar una velocidad constante, ni siquiera si se etiqueta como Δv.

Podrías decir, "OK, pero ¿Todo eso es legal? ¿Puedes combinar diferentes vectores en una suma de vectores? ¿No hay alguna regla acerca de mezclar vectores de acelaroción y velocidad?" Sí, hay reglas. La longitud del vector sólo representa su valor numérico: esa es la razón por la que debes hacer un seguimiento cuidadoso de los ángulos. Pero nadie ha tenido nunca ningún problema con la forma en que los vectores de distancia y velocidad se combinaron en este problema, históricamente. El radio del círculo obviamente no es una velocidad; es una distancia. Pero tanto el libro de texto como Feynman usan los vectores del radio y la velocidad como valores que se pueden poner en la misma ecuación. Si puedes hacer eso, ¿Por qué no usar también los vectores de aceleración? La respuesta es, puedes hacerlo, y Newton, el libro de texto y Feynman lo hacen también. Simplemente no te llaman la atención sobre eso. Resuelven este problema  sin siquiera definir sus variables. El truco es, aparentemente, no definir nada: entonces todos lo aceptarán sin preguntar. Pero el vector Δv de Feynman también debe ser un vector de aceleración, como el mío. ¿Por qué crees que está etiquetado con una delta? Una delta v es una aceleración. El vectore no tiene sentido como velocidad, ni en su diagrama ni en el mío. Si Feynman lo hubiera definido como un vector de velocidad, entonces date cuenta de que ese vector no cambia de longitud en todo el círculo—si el movimiento es circular. Si no hay cambio en el vector velocidad, entonces a┴ debe ser cero. Ni la velocidad orbital ni la velocidad tangencial (ni el vector Δv) cambian de magnitud en ningún intervalo, así que calcular cualquier cambio en cualquier v, o una a que fuera un cambio en v, sólo nos daría de resultado el número 0. El número que hemos conseguido siempre en la ecuación a = v²/r para a solo puede significar el vector de aceleración que acabo de hallar.

Feynman dice que a┴ = Δv┴/Δt. Pero Δv┴ siempre es el mismo en un movimiento circular uniforme, por definición. Es una constante en su diagrama y en el mío. Por lo tanto, en su ecuación a = 0. Y hemos visto incluso otra forma en la que ha trucado su demostración. Para que esa ecuación funcione, v┴ tendría que ser un vector de velocidad. De otro modo la forma de la ecuación no tiene sentido. En el diagrama vectorial etiqueta la velocidad tangencial como v1. Luego etiqueta la velocidad perpendicular como Δv┴. Una es una variable y otra es una variable delta. ¿Por qué razón? Son tipos equivalentes de vectores de acuerdo con esta ecuación. Si eso es así, entonces Δv┴ debería ser etiquetada simplemente v┴. Lo hace para confundir conceptos. Necesita un númerp para Δv┴ para ponerlo en esta ecuación: a┴ = Δv┴/Δt. Y consigue un número. Eso parece implicar que la ecuación proporcionará un número distinto de cero para a┴. Pero por su notación, lo que realmente necesita para hacer que la ecuación sea una ecuación real es esto:  a┴ =  ΔΔv┴/Δt. Necesitamos un cambio en su variable de velocidad—que etiquetó como Δv┴ sin razón alguna. Un cambio en su velocidad perpendicular entonces se leería como ΔΔv┴. Pero ΔΔv┴ = 0.

Si Feynman admitiera que Δv┴ es un vector aceleración para empezar, entonces podría responder que su ecuación no funciona de ese modo tampoco. a┴ = Δv┴/Δt es falso, puesto que tendrías entonces a┴ = a┴/Δt. El resto de sus sustituciones también se tuercen si define Δv┴ como un vector aceleración. Pero debe ser o uno o lo otro. O es un vector aceleración o es un vector velocidad, pero he mostrado que de ninguna de las dos formas funciona su demostración.

Podrías decir que mi Δv es una constante también. Sí, es una aceleración constante. Pero no es cero, pues nunca la he derivado.

Como demostración final de que mi análisis de a = Δv es correcto, vuelve al principio de la demostración de Feynman. Recuerda que dijo, "La aceleración tangente al camino es por supuesto simplemente el cambio en la longitud del vector." ¡Ajá! Ahí no hay derivadas ni divisiones del cambio de la longitud del vector entre un Δt. Si traduces esa cita en una ecuación matemática, se lee a║  =  Δv. Eso es todo. Si la aceleración tangente al camino se calcula así, ¿Por qué la aceleración perpendicular se debe calcular de forma retorcida? La respuesta es: no se debe. Se calcula exactamente de la misma manera.

Además, con la aceleración tangente de su ejemplo, puedes derivar si quieres: no importa siempre que uses la variable de velocidad correcta. Si derivas la v1 de su diagrama (no Δv║), obtienes a║. También obtienes Δv║, puesto que a║ =  Δv║. En otras palabras:

a║ =   dv1/dt  =  Δv║  ≠   dΔv║/dt
y del mismo modo
a┴   ≠    dΔv┴/dt



No puedes derivar Δv┴ para calcular a┴, porque Δv┴ no cambia con el tiempo. Y no puedes usar los otros trucos de Feynman, pues he mostrado que son trucos sucios.


Alguien podría percatarse de que mi ecuación da la notación incorrecta para una aceleración. Sí, eso es cierto. Al aplicar el teorema de Pitágoras a las longitudes de los vectores, perdía su notación completa. Sólo encontré la longitud del vector aceleración, o lo que es lo mismo, su valor numérico. Sin embargo, mostraré debajo que esto no es crucial. También mostraré que la notación de la ecuación actual es incorrecta.

Como queja final, alguien podría darse cuenta de que el vector Δv no se curva: ¿Cómo puede ser una aceleración? Un diagrama vectorial es una simplificación conceptual. La longitud de los vectores representan las Δx y la dirección representa la dirección, pero no se puede mostrar nada sobre el cambio en el tiempo. Se sobreentiende que el mismo cambio de tiempo subyace en todos los vectores. Todos los vectores del diagrama existen durante el mismo intervalo de tiempo. Pero la variable t se ignora por completo. Si pones un vector aceleración en un diagrama, ocurre lo mismo. La variable t se ignora. Pero si tienes una aceleración y se ignora la variable t, entonces el vector no se curva. Parece un vector velocidad. Una aceleración se curva en un gráfico xt porque estás pintando x sobre t. En estas ilustraciones no estás pintando sobre t, estás ignorando t. Por lo tanto, es posible tener un vector aceleración que no se curve en una ilustración. No es posible tener una curva que no sea una aceleración, pero es posible tener una aceleración que no sea una curva.

Además, hemos aceptado durante siglos que la aceleración centrípeta apunta al centro del círculo en cada instante. Cada vez que se dibuja en los libros de texto se dibuja como un vector en línea recta. Si la historia lo ha dibujado como un vector en línea recta, a mí no se me debería reprochar.

Lo siguiente a tener en cuenta es que mi nueva ecuación lleva a unas proporciones muy similares a la ecuación actual entre ar y v0. Si crees que mi ecuación parece completamente diferente de la ecuación actual, te conmino a ponerle algunos números. Sí, da valores diferentes en casi todas las situaciones, pero esos valores cambian casi precisamente de la misma forma que la ecuación actual. Quiere decir que a medida que r y vcambian, el valor de incrementa o disminuye al mismo ritmo que en la ecuación actual. Te recomiendo que compruebes la ecuación antes de que la rechaces sin trámite.

Ahora volvamos a mi demostración. Mi última ecuación es la relación entre la aceleración y la velocidad tangencial. ¿Y si queremos la velocidad orbital?

A medida que t→0, db y el triángulo formado por v0, Δv y b se aproxima a ser un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en B. Puedes ver en mi ilustración que el ángulo en B es obtuso. Pero a medida que el arco d se acorta, el ángulo disminuye, alcanzando un límite en 90º. En ese caso,

b² + Δv² =  v0²

A medida que t→0, b se convierte en el vector de velocidad orbital vorb, que es lo que buscamos.

vorb² + Δv² =  v0²

De arriba,
v0² + r² = (Δv + r
Así que por sustitución:
vorb² + Δv² + r² = Δv² + 2Δv·r +  r²
v·r  = vorb²
Δv  = vorb²/2r
a = vorb²/2r

Δv =  √[v0² + ] -  r   = vorb²/2r
vorb = √[2r√[ v0² + r²] -  2r²]

Como alguien podrá haberse dado cuenta, acabo de resolver el problema usando la misma idea de Newton de la proporción definitiva. He aplicado el teorema de Pitágoras sobre el último intervalo de la serie—un intervalo que no es cero. Lo trato como un intervalo real, no como un intervalo místico infinitesimal, ni como un intervalo "evanescente"(en palabras de Newton). Es un intervalo normal* y no hay nada que impida que uno pueda usar el teorema de Pitágoras en ese intervalo.

Remarcaré de nuevo que en el límite, el ángulo en B (entre b y Δv) es 90º, pero v0 ≠ vorb. Para que v0 sea igual que b, el ángulo en B deberría ser mayor de 90º. Tendría que ser ligeramente agudo. Pero eso implica un intervalo de tiempo negativo. B por lo tanto no puede superar 90º. 90º es el límite. Y cuando el ángulo está en 90º, v0 > vorb.

Ahora puedes ver que esta solución se presenta como una refutación del Lema VII de Newton. Newton afirma que en el límite, el arco, la tangente y la cuerda son todas iguales. Yo acabo de mostrar que en el límite el arco y la cuerda se aproximan a la igualdad, pero que la tangente sigue siendo mayor a ambos. Newton aplicó su límite en el ángulo equivocado. Lo aplicó al ángulo θ de mi ilustración de arriba, llevando el ángulo a cero. He mostrado que el límite debe aplicarse primero al ángulo B. Ese ángulo llega al límite en 90º antes de que θ llegue a cero. Por lo tanto, θ nunca llega a cero, y la tangente nunca se iguala al arco o la cuerda. Por eso la aceleración nunca se hace cero (no el verseno, para aquellos que lleven la cuenta). Si θ se hiciera cero no podríamos calcular la aceleración.

Newton afirma que BC está compusto de (es la suma vectorial de) Bc y cC, en la primera ilustración de arriba. Si esto es cierto, entonces la velocidad tangencial y la velocidad orbital no pueden ser equivalentes. Eso haría que BC y Bc fueran equivalentes en el límite. Eso no puede ser, porque haría nulo cC en el límite. Pero cC es un vector aceleración. No puedes hacer cero ese vector en el límite y luego afirmar que lo calculas. El arco y la tangente no pueden ser iguales. La velocidad orbital y la velocidad tangencial nunca son iguales.

Si el Lema VII es falso, los lemas VI y VIII deben ser falsos también, pues ambos conciernen a llevar el ángulo θ a cero. He mostrado que θ no es cero en el límite.

Me ayuda pensarlo de esta manera, cuando estoy trabajando en el intervalo definitivo: no podemos llevar cantidades a cero, pues entonces nuestras variables empiezan a desaparecer. No llevamos B hasta A, o dejamos que θ sea cero. Estamos en el último intervalo de una serie; no estamos en cero. Hasta el último intervalo debe tener dimensiones, no importa lo pequeñas que sean. Algún tiempo debe pasar; alguna distancia se debe recorrer. Buscamos las dimensiones al final de ese primer intervalo, no al principio del primer intervalo. El principio del primer intervalo es cero. El final del primer intervalo no lo es. Al principio del primer intervalo, sen θ = 0. Al final del primer intervalo, sen θ = Δv/v0 ≠ 0. Esto se entiende hoy día de forma general, de una forma u otra. Lo que no se entiende, aparentemente, es que esto condena no sólo a los lemas VI, VII y VIII sino a todas las derivaciones actuales del movimiento circular y de a = v²/r.. Los fundamentos del cálculo se han reconstruido desde el tiempo de Newton, pero muchas de las hipótesis de Newton han permanecido grabadas en los viejos muros. Nunca han sido examinadas minuciosamente.

El movimiento circular es, en el fondo, un problema de ritmos de cambio. Tenemos dos cambios ocurriendo al mismo tiempo. Mientras el cuerpo se mueve en línea recta, también está siendo acelerado hacia un punto central. Pero un problema de ritmos de cambio implica cambios. Los cambios ocurren sólo durante intervalos definidos. Si llevamos nuestras variables a cero no podemos resolver, pues los cambies se han hecho todos cero y por lo tanto las proporciones se han hecho cero. Las fuerzas tampoco pueden actuar sobre intervalos de tiempo cero. No existen las fuerzas instantáneas, por definición física. Una fuerza debe actuar durante un intervalo. La definición de la energía cinética, en relación a la fuerza, lo deja claro. Una fuerza debe actuar durante algún intervalo de tiempo o distancia para hacer trabajo, trabajo que es la transferencia e igualdad de la energía cinética. Lo mismo se aplica a la aceleración, aunque nunce se aclara en las definiciones actuales. Una fuerza debe mover a un cuerpo durante algún intervalo de tiempo o distancia para imprimir una aceleración. No hay fuerza en un punto o instante. Cada fuerza y cada aceleración debe actuar durante algún período de tiempo. Eso es lo que Newton no comprehendió completamente y lo que la física y el cálculo actuales no pueden comprehender.

He resuelto este problema usando la idea de Newton de la proporción definitiva, pues refleja el concepto actual del cálculo de muchas maneras. He corregido el Lema VII, pero no ha afectado a mi capacidad de usar el concepto histórico de límite. En mi opinión, este concepto del límite todavía es excesivamente enrevesado. Hay un método incluso más fácil para la solución de cualquier curva, sin usar límites o series "infinitas". Sin embargo para usar ese método hace falta conocer mi artículo de los fundamentos del cálculo, conocimiento que no puedo dar por sabido en este artículo. Creo que mis argumentos aquí están bastante claros en la forma presente, haciendo innecesario incluir ese método en este artículo.