24 septiembre, 2013

Una corrección de la ecuación a = v²/r (VI)

Una corrección de la ecuación

a = v²/r

(y una refutación de los lemas de Newton VI, VII, y VIII).


N. del T.: Este es el sexto y último de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A correction of the equation a = v²/r (and a Refutation of Newton's Lemmae VI, VII & VIII)"
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Parte seis.

Implicaciones.

Hemos visto que no importa la velocidad a la que asignes v en la ecuación final—sea orbital o tangencial— a  v²/r.

Podrías preguntar, "Bien, ¿Cuál es? ¿Cuál de tus nuevas ecuaciones propones como sustitución de a = v²/r?" Ten en cuenta que un factor en esta decisión podría proporcionarlo el mismo Newton, puesto que en la demostración que he mencionado al principio para derivar la tercera ley de Kepler a partir de su ecuación de la gravedad, usa este paso:
v  = 2πr/t
donde t es el período de la órbita, y 2πr es la circunferencia de la órbita. Está claro que esta v es la velocidad orbital. Para que su derivación funcione, la v de la ecuación a = v²/r debe ser la velocidad orbital. Y de acuerdo con sus cálculos, mi corrección no afectaría a su derivación de la ley de Kepler. 
Sólo cambia la constante:
t²/r³ = 2π²/G·M    en lugar de 4π²/G·M

Sin embargo, eso nos lleva al vergonzoso final de esta ignominiosa historia de meteduras de pata. No sólo está claro ahora que Δv no es una velocidad, vorb tampoco es una velocidad. La velocidad orbital de Newton no es una velocidad. Esto no debería sorprender, puesto que una velocidad no puede curvarse. 

Cada tipo de cálculo nos dice eso. La historia del movimiento circular al completo nos lo dice. Una curva es una aceleración. La "velocidad" orbital es un movimiento complejo compuesto de velocidad tangencial y aceleración centrípeta. Feynman y el libro de texto deberían haber sabido esto, pues es una de las conclusiones del problema completo, pero por alguna razón siguieron llamándole velocidad y tratándola como una velocidad en la derivación de a. La derivaron como una velocidad; la metieron en las ecuaciones de aceleración como una velocidad; usaron notación de velocidades. Por alguna razón actuaron como si la velocidad orbital fuera conocida, y estábamos derivando la aceleración a partir de ella. Actuaron de esta forma porque tenían un número para ella de la ecuación de arriba, v  = 2πr/t. Era fácil para ellos calcularla: las "velocidades" orbitales son la cosa más fácil de calcular en el cielo a partir de datos visuales. Por lo tanto pensaban que la entendían. 
Pero no la entendían, como está claro viendo estas derivaciones erróneas. Newton no la entendía tampoco, pues sustituye v²/r por a como si v fuera una velocidad. En la demostración de Kepler hace que sea:
m·a = m·v²/r.

Eso parece muy familiar, de forma peligrosa, si no sabes que v es en realidad una aceleración. Podría llevarnos a problemas desastrosos de energía cinética que equivalen a este. No hay razón para que sigamos etiquetando la velocidad orbital como velocidad.

Un lector bien podría preguntar cómo este descubrimiento puede ser conmensurable con la física aplicada y la ingeniería actuales. Tenemos multitud de evidencia empírica de que la histórica ecuación es cierta. Newton estaba intentando derivar una ecuación que ya sabía que era cierta a partir de los datos que tenía a mano. Por lo tanto la ecuación histórica a = v²/r se trata de una derivación de la relación entre la aceleración centrípeta y 2πr/t. Tenemos la necesidad de esta relación y podemos hacer uso de esta relación en cálculos físicos, a pesar del hecho de que el segundo valor no es una velocidad. Por conveniencia, la hemos etiquetado como velocidad y hemos seguido con nuestros asuntos. Esas dos ecuaciones funcionan juntas, porque son correctas una relativa a la otra. Eso quiere decir, si a = v²/r, entonces v = 2πr/t. Pero el hecho es que ninguna de ellas es cierta por su cuenta. 
La aceleración orbital es realmente:
aorb= 2√2πr/t
y la relación es 
a┴ = aorb²/2r

Lo que esto quiere decir es que nuestras ecuaciones actuales son simplemente heurística directa. Las usamos todas simplemente debido al hecho de que es fácil para nosotros medir 2πr/t. Ese es nuestro dato básico, dato que nos gusta y siempre nos ha gustado, y si 2πr/t es una velocidad, una aceleración, o ninguna de las anteriores, nunca nos ha importado realmente. Newton estaba intentando desarrollar una ecuación que contuviera ese dato, y lo hizo. Desarrolló una ecuación cierta que relaciona a y 2πr/t. Desafortunadamente, etiquetó 2πr/t como la velocidad orbital, y no es la velocidad orbital. Ni tampoco es la aceleración orbital. Es sólo una relación entre dos variables y una constante. Como Newton derivó una ecuación cierta, no ha importado demasiado (en la mayoría de las situaciones) que sus asignaciones de variables fueran descuidadas. Siempre que recordemos que la variable v de la ecuación a = v²/r es igual a 2πr/t, no nos podemos equivocar. Pero no siempre hemos recordado esto, como mostraré con Bohr y la mecánica cuántica.

He mostrado que el círculo describe no una velocidad, sino una aceleración orbital. Esta aceleración es la suma vectorial de la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta. Para hallarla usamos la ecuación 

a┴ = aorb²/2r 

Usando esta ecuación, hallamos que:

(2πr/t)²/r = aorb²/2r
aorb = 2(√2)πr/t
a + r = √(v0² + r²)
a² + 2a·r = v0²
v0 = a√[1 + (2r/a)]

Esta es otra nueva ecuación muy útil para la velocidad tangencial. Nos permitirá calcular velocidades y energías que nos han esquivado hasta ahora, como la energía de un fotón emitido por un electrón en órbita.

La respusta a la pregunta, "¿Cuál de mis ecuaciones debe reemplazar la actual?" es por lo tanto la primera:

a = √ [v0² + r²] -  r

Si queremos una ecuación que relacione la velocidad de un objeto en órbita con su aceleración centrípeta, debemos usar esta ecuación, puesto que es la única ecuación con una verdadera variable de velocidad en ella. Esto funciona de otras formas tambien, pues las proporciones de las variables de esa ecuación se mantienen igual que la ecuación histórica, mientras que no se mantienen en la ecuación aorb²/2r.

Lo que nos lleva a otro problema. Puedes ver que la física nunca ha tenido una forma de medir la velocidad tangencial. La "velocidad orbital" se puede calcular fácilmente como la circunferencia partida por el tiempo de una revolución. Pero la velocidad tangencial se debe calcular. Puedes calcularla usando mis nuevas ecuaciones, pero antes de este artículo no había ecuación que diera la velocidad tangencial a partir de la velocidad orbital. Ni Feynman ni ninguno de los libros de texto siquiera eran claros diferenciando una de otra. Asumo que esto significa que nadie tenía clara la diferencia. [Ten en cuenta que Newton tampoco podía calcular una a partir de la otra, pues de acuerdo con el Lema VII eran la misma cosa.]

Tanto los científicos teóricos como los ingenieros deberían entender que tales equivocaciones llevan al final a la ruina. A corto plazo pueden llevar a fallos ingenieriles sencillos, lo que ya es bastante malo. Pero a largo plazo siempre llevan a callejones sin salida de la teoría, pues una ecuación chapucera es el camino más seguro de todos los posibles para la detención del progreso científico. Una ecuación correcta es casi infinitamente expandible, pues su impedancia es cero. Los futuros científicos pueden desarrollarla en todas las direcciones posibles. Pero una ecuación falsa o imprecisa puede detener este desarrollo de forma indefinida, cosa de la que tenemos amplias pruebas. Etiquetar incorrectamente las variables no es un fracaso para la semántica o la metafísica. Es un fracaso para la ciencia misma.

Todo esto son noticias muy importantes, y supongo que estarás de acuerdo. Lo que lo hace incluso más importante es que mostraré en artículos siguientes que está lejos de ser la única ecuación básica que contiene errores fatales. Al poner a la física bajo el microscopio, he descubierto que el álgebra y el cálculo poco cuidadosos expuestos arriba es la norma, no la excepción: podría decirse que es pandémico. Infecta todas las ramas, incluyendo los niveles superiores. Los científicos modernos se han demostrado a sí mismo más interesados en hacer malabares con matrices complejas y otras matemáticas avanzadas que en dominar la álgebra de bachillerato. Que es precisamente por lo que tales errores en las derivaciones se han perpetuado durante tanto tiempo.

Queda mucho trabajo por hacer en física básica, a pesar de las arrogantes proclamas de muchos de que el campo ya está casi completo. En mi opinión, el trabajo más inmediato e importante que hay que hacer está en el análisis conceptual—combinar las masas de trabajo teórico y matemático que ya se ha hecho, y hacerlas consistentes. Esto se conseguirá, no con matemáticas supuestamente avanzadas, en la que los conceptos originales se pierden; ni con teorías científicas esotéricas y vanguardistas, en las que la producción de paradojas se convierten en medallas al mérito; sino con álgebra simple, en la que los conceptos se mantienen cerca de la superficie en todo momento. 

He encabezado mi ataque con este impactante y corto artículo porque se que sólo con un asalto frontal hay alguna esperanza de provocar una brecha en los muros de la ciencia. Las sutilezas filosóficas siempre se pueden desechar como arbitrarias o subjetivas o metafísicas, pero espero que sea imposible ignorar las matemáticas simples.

He descubierto ya otras demostraciones matemáticas de que la ecuación actual es errónea, pues he mostrado en mi artículo del virial[Por traducir] que el 2 de la ecuación 2K = -V es un producto de esta errónea ecuación. Se nos dice que la energía potencial en el virial es dos veces la energía cinética, pero eso siempre fue ilógico. Al corregir la ecuación v²/r, puedo corregir ka ecuación 2K = - V, haciéndola K = -V. Esto no sólo hace lógico al virial, también confirma mi corrección de este artículo. Las dos ecuaciones corregidas se confirman entre ellas.

Para más acerca de este problema, ve a mi artículo más reciente sobre π[Por traducir], y mi artículo más reciente sobre v²/r[Por traducir].