07 septiembre, 2013

Una redefinición de la derivada (VI)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el séptimo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"


Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].

Parte Seis

Aplicación a la física


Hemos resuelto la primera parte de nuestro problema. Hemos encontrado la derivada sin usar el cálculo y hemos asignado su valor a la ecuación general para la pendiente de la tangente a la curva. Ahora debemos preguntarnos si podemos asignar esta ecuación a la velocidad en todos "los puntos de la curva". Esta ya no es una pregunta matemática. Es una cuestión física. La respuesta parece ser "sí". ΔΔt/ΔΔx = ΔΔt = (Δt)'

Hice que fuera t la variable dependiente inicialmente pero fue una elección arbitraria por mi parte. Si hubiera hecho que fuera x la variable dependiente, entonces tendríamos (Δx)' = ΔΔx/ΔΔt.

Así que la derivada parece una velocidad.

Pero una velocidad en un punto de la gráfica no es la velocidad en un punto del espacio, por lo tanto la pendiente de la tangente no se aplica a la velocidad instantánea. Es la velocidad durante un periodo de tiempo de aceleración, no la velocidad en un instante de tiempo. Dirás, "Sí, pero por tu propio método podemos seguir cancelando deltas, en cuyo caso obtendremos ΔΔt/ΔΔx = Δt/Δx = t/x. Si las Δt son iguales entonces las t son iguales, y así sucesivemente".

No, no son iguales. Ten encuenta que la ecuación x/t ni siquiera describe una velocidad. Es un punto entre un instante. Eso no es una velocidad. Ni siquiera es una fracción que tenga sentido. Como he mostrado, t en este caso es en realidad un número ordinal. No puedes tener un número ordinal en el denominador de una fracción. Es absurdo. Reduciendo esa fracción, lo que estás diciendo es que 5 metros entre 5 segundos sería igual a la quinta marca de la regla entre el quinto tictac del reloj. Pero la quinta marca de la regla es equivalente a la primera marca y a la marca número 100. Y el quinto tictac del reloj es igual que cualquier otro. Por lo tanto, puedo decir que 5 metros/5 segundos = 5ª marca/ 5º tictac = 100ª marca / 7º tictac. Sandeces.

Más aún, tu método de cancelación no está permitido. Yo cancelé deltas en igualdades, bajo circunstancias estrictamente analizadas (x estaba en ambos lados de la ecuación); tu estás cancelando en una fracción. Estás simplificando una fracción cancelando una delta en el numerador y el denominador. Eso no es lo mismo que cancelar un término en ambos lados de una ecuación. Obviamente, ΔΔt/ΔΔx no puede igualarse a Δt/Δx, porque la derivada no es lo mismo que los valores en un punto de la gráfica. La pendiente de una curva no es simplemente Δy/Δx. Una delta no representa un número o una variable, por lo tanto no se cancela de la misma forma. A veces se puede cancelar en una igualdad, como ya he mostrado. Pero la delta no se cancela en la fracción ΔΔt/ΔΔx, porque Δt y Δx no cambian al mismo ritmo. Si cambiaran al mismo ritmo, no tendríamos aceleración. Las deltas no son  equivalentes en valor por lo tanto y no se pueden cancelar.

Responderás, "OK, bien. Pero si la velocidad que has encontrado no es una velocidad instantánea, debe ser la velocidad a lo largo de algún intervalo. Acabas de mostrar que no es la velocidad del intervalo Δx_final - Δx_inicial. Eso sólo sería aplicable si la curva fuera una línea recta. Así que ¿De qué intervalo se trata?"
Es la velocidad a lo largo del n-ésimo intervalo de ΔΔx, donde ΔΔx = 1. [Si t fuera la variable independiente, entonces el intervalo sería ΔΔt.] De nuevo, ΔΔt/ΔΔx es la ecuación de la velocidad, de acuerdo con nuestra ecuación dada. Por lo tanto la velocidad en un punto dado de la gráfica (Δx_n, Δt_n) es la velocidad en el intervalo n-ésimo de ΔΔx. Muy sencillo. La ecuación de la velocidad nos dice eso en sí misma: el denominador es el intervalo. Cada intervalo ΔΔx es 1, pero la velocidad a lo largo de esos intervalos no es constante, porque tenemos una aceleración. La velocidad que hallamos es la velocidad a lo largo de un subintervalo particular de Δx. El subintervalo de Δx es ΔΔx. La velocidad podría escribirse así:

Δt' / ΔΔx

No hemos tendido a un límite ni a cero; hemos ido a un subintervalo—el intervalo directamnte por debajo de la longitud y el periodo. ¿Qué quiero decir con esto? Quiero decir que nuestros intervalos básicos o diferenciales son Δx y Δt. Pero si tenemos una ecuación de una cruva, tenemos una aceleración o su equivalente matemático. Si tenemos una aceleración, entonces mientras medimos una distancia o un período, algo se mueve bajo nosotros. Tenemos un cambio de cambio. Un ritmo de cambio. Nuestros intervalos básicos están sometidos a intervalos de cambio. No es tan difícil de imaginar. Pasa todo el rato. Mientras entro en el aeropuerto (midiendo el suelo con mis pies y mi reloj) me subo a una acera móvil. El suelo ha cambiado a lo largo de un subintervalo. Cambia solo a lo largo de un subintervalo, así que siento aceleración sólo durante ese subintervalo. Una vez que tengo la velocidad de la acera móvil, mi cambio se detiene, el subintervalo termina, y estoy a una nueva velocidad constante. El subintervalo no es un instante, es el tiempo desde que empieza el cambio hasta que termina. Pero a una aceleración constante, estaría subiéndome a aceras móviles cada vez más rápidas a cada subintervalo siguiente, y continuaría acelerando.

Lo que significa todo esto es que un subintervalo no es un instante. Es un período determinado de tiempo o distancia, y este tiempo o distancia vienen dados por la ecuación y la gráfica. Como he mostrado exhaustivamente, el subintervalo de cualquier gráfica donde la longitud de la escala es 1 y la variable independiente es Δx es simplemente ΔΔx = 1. Si asignamos la longitud de la escala a un metro, entonces ΔΔx = 1m. Si hallamos la velocidad "en un punto", tenemos que asignar entonces esa velocidad al intervalo que precede a ese punto. No un intervalo infinitesimal, sino el intervalo de 1 metro. Si asignamos esa velocidad a un objeto real en un punto del espacio, un objeto que hemos estado monitorizando con nuestra gráfica y nuestra curva, entonces la velocidad del objeto también se debe asignar al intervalo anterior de un metro.

Dirás, "Pero un objeto real no acelera dando tirones. Ni tampoco la curva de la gráfica. Deberíamos ser capaces de encontrar la velocidad en cualquier punto ínfimo, en el espacio o en la gráfica."
Sí puedes, pero el valor que obtendrás se aplicará al intervalo, no al instante. Puedes encontrar la velocidad en el valor Δx = 5m ó Δx = 9.000512m o en cualquier otro valor, pero cada velocidad se aplicará al intervalo métrico que precede a ese valor.
Dirás, "Bien, bien, necesitamos ser más precisos todavía. ¿No puedo hacer el intervalo más pequeño aún?"
Por supuesto: simplemente asigna la escala a una magnitud menor. Si haces que tu escala sea de un angstrom, entonces el intervalo que precede a tu velocidad será también un angstrom. Sin embargo, ten en cuenta que no puedes asignar una magnitud arbitrariamente. Es decir, si estás midiendo de verdad tu objeto a la precisión de angstrom, de acuerdo. Puedes reflejar esa precisión en tu gráfica. Pero si no estás siendo tan preciso en tu operación de medida, no puedes asignar entonces una magnitud muy pequeña a la escala de tu gráfica sólo porque quieras estar más cerca de un instante o un punto. Tu gráfica es una representación de tu operación de medida. No puedes tergiversar esa operación haciendo trampas. Sería como usar más dígitos significativos de los que tienes derecho a a usar.

Esto significa que en física, la precisión de las medidas de tus variables dadas determinan la precisión de tu velocidad. Esto es lógicamente como debería ser. No deberíamos ser capaces de encontrar una velocidad en un instante o un punto, cuando no somo capaces de medir un instante o un punto. Una velocidad instantánea tendría una precisión infinita. Tenemos un margen de error en todas las medidas de longitud y tiempo, pues no podemos lograr una exactitud infinita. Pero hasta ahora esperábamos encontrar velocidades instantáneas y aceleraciones, lo que implicaría exactitud infinita.

N. del T. Este es el séptimo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"