08 septiembre, 2013

Una redefinición de la derivada (VII)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el octavo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"


Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].

Parte Siete

La segunda derivada—Aceleración


[Por comodidad, repito aquí la tabla]

Δx = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...
Δ2x = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18...
Δx² = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81...
Δx³ = 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343...
Δx⁴ = 1, 16, 81, 256, 625, 1296...
Δx⁵ = 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807
ΔΔx = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
ΔΔ2x = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔx² = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
ΔΔx³ = 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127
ΔΔx⁴ = 1, 15, 65, 175, 369, 671
ΔΔx⁵ = 1, 31, 211, 781, 2101, 4651, 9031
ΔΔΔx = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
ΔΔΔx² = 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2
ΔΔΔx³ = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42
ΔΔΔx⁴ = 14, 50, 110, 194, 302
ΔΔΔx⁵ = 30, 180, 570, 1320, 2550, 4380
ΔΔΔΔx³ = 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
ΔΔΔΔx⁴ = 36, 60, 84, 108
ΔΔΔΔx⁵ = 150, 390, 750, 1230, 1830
ΔΔΔΔΔx⁴ = 24, 24, 24, 24
ΔΔΔΔΔx⁵ = 240, 360, 480, 600
ΔΔΔΔΔΔx⁵ = 120, 120, 120
de aquí podemos predecir que
ΔΔΔΔΔΔΔx⁶ = 720, 720, 720
Y así sucesivamente




Como paso final, déjame mostrarte que la segunda derivada tampoco se calcula para un instante. No hay tal cosa como una aceleración instantánea, del mismo modo que no hay velocidad instantánea. Lo que buscamos para la aceleración en un punto de la gráfica es esta ecuación: Δt'' = ΔΔΔt/ΔΔx


La aceleración es tradicionalmente Δv/Δt. Según la notación actual, eso es (ΔΔx /Δt)/ Δt. Según mi notación con deltas extra, sería [Δ(ΔΔx)/ΔΔt] / ΔΔt. Mis variables han estado al revés todos los artículos, lo que quiere decir que he estado hallando la velocidad como t/x en vez de t/x. Así que dale la vuelta a esa última ecuación:

[Δ(ΔΔt)/ΔΔx] / ΔΔx

Como hemos visto una y otra vez, ΔΔx = 1, por lo tanto la ecuación se reduce a ΔΔΔt. Para la aceleración buscamos ΔΔΔt. El denominados es uno, como puedes ver claramente, lo que significa que estamos buscando todavía ΔΔΔt a lo largo de un subintervalo de 1, no un intervalo que tiende a cero o a un límite.

Se nos da Δt = Δx3
Encontramos en la tabla 3ΔΔΔx2 = ΔΔΔΔx3
Simplificamos 3ΔΔx2 = ΔΔΔx3
Buscamos Δt'' o ΔΔΔt
Nos damos cuenta de que ΔΔΔt = ΔΔΔx3 puesto que podemos sumar las mismas deltas en ambos lados
Sustituimos 3ΔΔx2 = ΔΔΔt
Volvemos a la tabla 2ΔΔx = ΔΔΔx2
Simplificamos 2Δx = ΔΔx2
Sustituimos de nuevo 6Δx = ΔΔΔt
En Δx = 5, ΔΔΔt = 30

El subintervalo para la aceleración es el mismo que el subintervalo para la velocidad. El subintervalo es 1.

N. del T. Este es el octavo de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"