09 septiembre, 2013

Una redefinición de la derivada (VIII)

Por qué el cálculo funciona

y por qué no.


N. del T. Este es el último de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"


Para análisis más breves y menos técnicos sobre el cálculo contemporáneo, debes ir aquí[por traducir], aquí[por traducir] y aquí[por traducir].


Parte ocho.Resumen y adenda


Resumen


La demostración está acabada. El análisis de Newton era erróneo, así como el de Leibniz. No hay involucrados ni fluxiones, ni valores que tienden a cero, ni infinitesimales, ni indivisibles (aparte del mismo cero). Nada se hace tender a cero. Ningún denominador tiende a cero, ninguna división tiende a cero. No hay involucradas progresiones infinitas. Hasta Arquímedes estaba equivocado. Arquímedes inventó el problema con su análisis, que se acercaba al cero hace 2200 años. Todos fueron culpables de una falta de comprensión del problema, y una falta de entendimiento del ritmo de cambio. Euler y Cauchy también se equivocaban, pues no tiene sentido darle un fundamento a la falsedad. El concepto de límite es históricamente un invento ad hoc respecto al cálculo: un invento que ahora debe ser eliminado. Mi redefinición de la derivada como simple ritmo de cambio de la variable dependiente exige volver a analizar casi todas las matemáticas avanzadas.*

Todo el lío se construyó sobre un error enorme: todos esos matemáticos pensaban que el punto de la gráfica o de la curva matemática representaba un punto del espacio o un punto físico. Por lo tanto, no había manera, pensaban, de encontrar un subintervalo o diferencial sin tender a cero. Pero el subintervalo es simplemente el número uno, como he mostrado. Ese fue el primer dato dado por la gráfica, y por la recta numérica.  El diferencial ΔΔx = 1 define la gráfica por completo, y cada curva en ella. Ese diferencial constante es el denominador de cada posible derivada—primera, segunda o última. La derivada no es el límite de Δf(x)/Δx cuando Δx tiende a cero. Es el valor Δf(x)/1.

Y es por eso precisamente que funciona el Cálculo Umbral. La interpretación actual y el formalismo del Cálculo de Diferencias Finitas es tan complejo y le sobran tantos símbolos que es difícil darse cuenta de lo que ocurre. Pero mi simple explicación de arriba muestra el trabajo preliminar claramente, incluso para aquellos que no son expertos de esta materia. Una vez que limitas el Cálculo de Diferencias Finitas a los enteros, construyes una tabla simple, y rechazas consentir cosas como las diferencias anterior y posterior (que son sólo bagaje), las nubes se empiezan a disipar. Le asignas 1 al diferencial constante de la tabla, no arbitrariamente, sino porque la recta numérica tiene un diferencial constante de 1. Hemos definido el número 1 como la diferencial constante del mundo y de cada espacio posible. Los matemáticos parecen propensos a olvidarlo, pero es así. Cada vez que usamos números en un problema, hemos definido automáticamente nuestro diferencial básico como 1. Lo que significa esto, operacionalmente, es que en muchos problemas, los exponentes empiezan a actuar como subíndices, o al revés. Para ver lo que quiero decir, vuelve a la tabla de la parte cuatro. Como el número entero 1 define la tabla y sus diferenciales constantes, los exponentes se podrían escribir como subíndices sin ningún cambio en las matemáticas.

Una vez que hemos definido nuestro diferencial básico como 1, no podemos evitar reflejar mucha de las matemáticas de los subíndices, porque los subíndices están evidentemente basados en el diferencial 1. A menos que seas muy iconoclasta, tus subíndices cambian en 1 cada vez, lo que significa que tu subíndice tiene una diferencial constante de 1. Es lo que hace el Cálculo de Diferencias Finitas, cuando se usa para reemplazar el Cálculo Diferencial y desarrolla la derivada como lo he hecho yo aquí.  Por lo tanto, no puede ser un misterio cuando otras ecuaciones con subíndices—si se basan explícita o implícitamente en un diferencial de 1—son diferenciables.

Más allá de esto, al redefinir el problema completamente, he sido capaz de demostrar que los valores instantáneos son un mito. No existen en la curva ni en la gráfica. Más aún, implican una precisión absoluta al encontrar velocidades y aceleraciones, cuando las variables de las que están hechas esos movimientos—distancia y tiempo—no son, y no pueden ser, absolutamente precisas. Los valores instantáneos no existen ni siquiera como conceptos matemáticos en el cálculo, pues se llegó a ellos asignando diferenciales decrecientes a puntos que no eran puntos. No puedes postular la existencia de 
un límite en un "punto" que ya está definido por dos diferenciales, (x - 0) e (y - 0).

He conseguido todo esto con un algoritmo que es simple y fácil de comprender. El Cálculo debería enseñarse ya sin ninguna mistificación. No hacen falta demostraciones difíciles; nada se debe asumir como acto de fe. Cada paso de mi demostración se puede explicar en términos de teoría numérica básica, y cualquier estudiante de instituto verá la lógica al sustituir los valores de la tabla en las ecuaciones de la curva.

* Por ejemplo, mi corrección del cálculo cambia la definición del gradiente, que cambia la definición del Lagrangiano, que cambia la definición del Hamiltoniano. De hecho, cada rama de las matemáticas se ve afactada por mi redefinición de la derivada. He mostrado que todas los campos matemáticos son representaciones de intervalos, no puntos físicos. Es imposible graficar o representar un punto físico en ningún campo matemático, cartesiano o de otro tipo. El gradiente es por lo tanto el ritmo de cambio sobre un intervalo definido, no el ritmo de cambio en un punto.

La topología simpléctica también depende de las premisas que he anulado en este artículo. Si los puntos de un diagrama cartesiano no son puntos en el espacio real, entonces los estados de la mecánica cuántica no son puntos en un espacio de fases simpléctico. El espacio de Hilbert también se desmorona, porque su formalismo matemático no puede aplicarse a los campos en cuestión. Concretamente, la secuencia de elementos, cualquiera que sea, no converge en el espacio vectorial. Por lo tanto el espacio matemático no es equivalente al espacio real, y uno no puede predecir completamente al otro. Esto significa que la "incertidumbre" de la mecánica cuántica se debe (al menos en parte) a las matemáticas y no al marco conceptual. Es decir, las diferentes dificultades de la física cuántica son principalmente problemas de un espacio de Hilbert mal definido y unas matemáticas(álgebra vectorial) usadas de forma errónea, y no problemas de probabilidades o filosofía.

De hecho, todas las topologías se ven afectadas por este artículo. La topología elemental comete el mismo error que el Cálculo al asumir que una recta en R² representa un subespacio unidimensional. Acabo de mostrar que una recta en R² representa una velocidad, que no es un subespacio unidimensional. Demostré en la primera parte que un punto en R² ya es una entidad bidimensional, así que una recta debe ser un subespacio tridimensional. En R³, una recta representa una aceleración. En R⁴, una recta representa un citión (Δa). Dado que la velocidad es una cantidad tridimensional—que requiere las dimensiones yt, por ejemplo, más un cambio (un cambio siempre implica una dimensión extra)—se sigue que una recta en R^n representa un subespacio (n+1)-dimensional. Esto significa que se deben replantear todas las álgebras lineales y vectoriales . Los tensores cambian de cimientos también, haciendo una valoración generosa. Ni una sola presunción matemática que descanse sobre las premisas tradicionales del cálculo diferencial, la topología, el álgebra lineal, o las teorías de medida queda intacto por este artículo.


Adenda


· Como demostración de que el cálculo no se acerca a un límite, ni un infinitesimal, ni tiende a cero, puedes consultar mi segundo artículo sobre la ecuación orbital de Newton a=v²/r[por traducir]. Ahí, usando la ecuación para la Luna, mostrando que la aceleración de la Luna debida a la Tierra no es una aceleración instantánea. En otras palabras, no tiene lugar en un instante o en un tiempo infinitesimal. De hecho calculo el tiempo real que pasa durante la aceleración dada, mostrando en un problema específico que el cálculo tiende a un subintervalo, no a un límite o infinitesimal. Ese subintervalo es a la vez finito y calculable en cualquier problema físico. En otras palabras, hallo el subintervalo que hace de 1 en un problema real. Hallo el valor del diferencial de referencia.

· En un nuevo artículo[por traducir], demuestro mi opinión dada aquí de que el cálculo está mal entendido en sus fundamentos a día de hoy analizando una solución de un libro de texto de una aceleración variable. Muestro que la primera integral se usa cuando debería usarse una derivada segunda, demostrando que los científicos no comprenden las manipulaciones básicas del cálculo. Más aún, mustro que el cálculo se enseña al revés, definiendo la derivada a la inversa.

· En artículos siguientes, muestro como se pueden transformar mis tablas para hallar integrales, funciones trigonométricas[por traducir], logaritmos[por traducir] y demás. Creo que está claro que las integrales se pueden hallar fácilmente leyendo la tabla hacia arriba en lugar de abajo. Pero hay algunas implicaciones al hacer esto que se deben enumerar por completo. Y la conversión a las funciones trigonométricas y el resto es más difícil de algún modo, aunque no, espero, esotérica en ningún sentido. Todo lo que tenemos que hacer para transformar las tablas de este artículo para cualquier función es considerar la manera en que los números se generan según los diferentes métodos, teniendo en cuenta las cláusulas que he cubierto ya aquí.

N. del T. Este es el último de una serie de posts en los que he dividido el artículo original "A re-definition of the derivative"