08 octubre, 2013

Una refutación de los lemas fundamentales de Newton (I)



Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.


Primera parte (de dos). Pulsa aquí para la segunda parte.



Newton publicó sus Principia en 1687. Excepto por las correcciones de la Relatividad de Einstein, el grueso del texto ha permanecido sin oposición desde entonces. Ha sido la espina dorsal de la trigonometría, el cálculo, y la física clásica y, en su mayor parte, lo es. Es el texto fundamental de cinemática, gravedad y otros muchos temas.

En este artículo mostraré una refutación simple y directa de uno de los primeros y más fundamentales lemas, un lema que sigue siendo a día de hoy la base del cálculo y la trigonometría. Mi corrección es importante—a pesar de la antigüedad del texto que estoy criticando—debido simplemente a la continuada importancia de ese texto en las matemáticas modernas y la ciencia. Mi corrección clarifica los fundamentos del cálculo, unos fundamentos que, a día de hoy, son de gran interés para los matemáticos puros. En la mitad del siglo pasado, matemáticos prominentes como Abraham Robinson han seguido trabajando en los fundamentos del cálculo (véase el Análisis no estándar). Incluso en estas últimas fechas de la historia, deben seguir siendo de interés las correcciones matemáticas y analíticas importantes, y un descubrimiento como el contenido en este artículo es crucial para nuestro entendimiento de las matemáticas que hemos heredado. Esta corrección nunca se ha abordado en la modificación histórica del cálculo, ni por Cauchy ni por nadie más. Redefinir el cálculo basándose en las consideraciones referentes al límite no afecta para nada en el análisis geométrico y trigonométrico que ofreceré.

El primer lema en cuestión aquí es el Lema VI, del Libro I, sección I ("Del movimiento de los cuerpos"). En ese lema, Newton proporciona el diagrama de abajo, donde AB es la cuerda, AD es la tangente y ACB es el arco. Nos dice que si hacemos que B se acerque a A, el ángulo BAD debe desvanecerse finalmente. En lenguaje moderno, nos dice que el ángulo tiende a cero en el límite.




Esto es falso por la siguiente razón: Si hacemos que B se acerque a A, tenemos que monitorizar el ángulo ABD, no el ángulo BAD. A medida que B se acerca a A, el ángulo ABD se acerca a un ángulo recto. Cuando B alcanza por fin a A, el ángulo ABD será un ángulo recto. Por lo tanto, el ángulo ABD nunca puede ser agudo. Sólo si imagináramos que B sobrepasa a A podríamos imaginar que el ángulo ABD fuera agudo. E incluso entonces, el ángulo no sería realmente agudo, pues estaríamos en una especie de intervalo de tiempo negativo. Newton usa A como su punto cero, para que no podamos cruzar en realidad ese punto sin llegar a una especie de intervalo negativo, especialmente porque estamos hablando del movimiento de cuerpos reales.

[He añadido este párrafo después de charlas con muchos lectores, que no pueden visualizar aquí la manipulación. Es muy simple: debes deslizar la línea RBD al completo hacia A, manteniéndola siempre recta. Esta es la visualización de Newton, y no la he cambiado aquí. No estoy cambiando sus postulados físicos, estoy analizando su geometría con más rigor del que él mismo consiguió.]

Si estamos llevando B hasta A, y no debe sobrepasar A, entonces el ángulo ABD tiene su límite en 90º. Cuando ABD está en 90º, el ángulo BAD no puede ser cero. Esto quedará claro como el agua en un momento cuando miremos la longitud de la tangente en el límite, pero por ahora baste decir que si el ángulo BAD fuera cero, entonces ADB debería ser también de 90º, lo que es imposible de proponer. Un triángulo no puede tener dos ángulos de 90º.

En el Lema VII, Newton usa el lema anterior para mostrar que en el límite, la tangente, el arco y la cuerda son todos iguales. Acabo de refutar esto al mostrar que el ángulo ABD es de 90º en el límite. Si ABD es de 90º en el límite, entonces la tangente debe ser más grande que la cuerda. Por favor, ten en cuenta que si AB y AD son iguales, entonces ABD debe ser de menos de 90º. Pero he mostrado que ABD no puede ser menor de 90º. B tendría que sobrepasar A, lo que nos pondría en un intervalo de tiempo negativo. Si B no puede sobrepasar A (siendo A el límite) entonces la tangente nunca puede ser igual a la cuerda, ni cuando se acerca al límite, ni en el límite.

Esto confirma mi aseveración anterior de que el ángulo BAD no puede hacerse cero. Si la tangente es mayor que la cuerda en el límite, entonces esa es una razón más para que el ángulo BAD deba ser mayor que cero, incluso en el límite. Si AD es mayor que AB, entonces DB debe ser mayor que cero. Si DB es mayor que cero, entonces BAD es mayor que cero.

Todo esto lo provoca el hecho de que el ángulo ABD llega a 90º antes de que el ángulo BAD llegue a cero. El ángulo ABD alcanza el límite primero, lo que impide al ángulo BAD alcanzarlo. BAD nunca llega a cero.

Por supuesto, esto significa que B nunca llega a A. Si B llegara realmente a A, entonces ya no tendríamos un triángulo. La tangente y la cuerda son iguales sólo cuando ambas son iguales a cero, y son iguales a cero cuando el intervalo entre A y B es cero. Pero el ángulo de 90º en ABD impide que esto pase. Cuando ese ángulo está en 90º, la tangente debe ser mayor que la cuerda. Por lo tanto la cuerda no puede ser cero. Si la cuerda es cero, entonces la tangente y la cuerda son iguales: por lo tanto la cuerda no es cero. Para ponerlo en una forma más típica de demostración:

1) Si la cuerda AB es cero, la tangente AD también es cero.
2) 0 = 0
3) Si AB = AD, el ángulo ABD debe ser menor de 90º.
4) El ángulo ABD no puede ser menor de 90º
QED: AB no es igual a AD; AB no es cero.

De hecho, esta es precisamente la razón por la que podemos hacer cálculos en el "intervalo final" de Newton, o en el límite. Si todas las variables fueran cero o iguales, no podríamos esperar calcular nada. Newton, poco después de demostrar estos lemas, usó una ecuación del verseno en el intervalo final, y no podría haberlo hecho si sus variables se hicieran cero o iguales. Del mismo modo, el cálculo, no importa como se derive o se use, no puede funcionar en el límite si todas las variables o funciones fueran cero o iguales en el límite.

Algunos dirán que mi declaración de que B nunca alcanza a A es como las paradojas de Zenón. ¿Estoy diciendo que Aquiles nunca llega a la meta? No, por supuesto que no. El diagrama de arriba no es equivalente a un simple diagrama de movimiento. B no se está moviendo hacia A del mismo modo que Aquiles se acerca a la meta, y eso no tiene nada que ver con la curvatura. Tiene que ver con la variable de tiempo que está implícita. Si hacemos un diagrama de Aquiles acercándose a la meta, el intervalo de tiempo no se encoge a medida que se acerca a la meta. El intervalo de tiempo es constante. Pinta el movimiento de Aquiles en una gráfica x/t y verás lo que digo. Todas las cajitas del eje t son del mismo ancho. O sal a la pista con Aquiles y cronométralo a medida que se acerca a la línea de meta. Tu reloj sigue adelante y avanza al mismo ritmo si lo ves a 100 metros de la línea de meta que si lo ves a un centímetro.

Pero dado el diagrama de arriba y el postulado "que B se acerque A", se entiende que lo que estamos haciendo es encoger tanto el intervalo de tiempo como la distancia del arco. Estamos analizando un intervalo decreciente, no calculando el movimiento en el espacio. "Que B se acerque a A" no significa "analicemos el movimiento del punto B a medida que viaja por la curva hasta el punto A". Significa, "que disminuya la longitud del arco". A medida que la longitud del arco disminuye, la variable t también se entiende que disminuye. Por lo tanto, lo que estoy diciendo cuando digo que B no puede llegar a A es que Δt no puede llegar a cero. No puedes analizar lógicamente un intervalo decreciente hasta cero,  pues estás analizando movimiento, y el movimiento está definido por un intervalo no nulo.

La circunferencia y la curva son ambos estudios del movimiento. En este análisis en particular, estamos estudiando subintervalos de movimiento. Ese subintervalo, ya se aplique al espacio o al tiempo, no puede hacerse cero. El espacio real es un espacio no nulo, y el tiempo real es un tiempo no nulo. No podemos estudiar el movimiento, la velocidad, la fuerza, la acción, ni ninguna otra variable que se define por x y t excepto cuando estudiamos intervalos no nulos. El límite de cualquier variable calculable siempre es mayor que cero. Por calculable me refiero a una variable de verdad. Por ejemplo, el ángulo ABD no es una variable calculable en el problema de arriba. Es una variable dada. No la calculamos, pues es axiomáticamente 90º. Será 90º en todos los problemas similares. con cualquier circunferencia que se nos de para buscar la velocidad en la tangente. El vector AD, sin embargo, variará con las circunferencias de distinto tamaño. De este modo, sólo el ángulo ABD se puede entender que disminuya hasta un límite de tipo cero. Las otras variables no. Como proporcionan diferentes soluciones para problemas similares (con circunferencias mayores o menores) no se puede asumir que lleguen a un límite de tipo cero. Si llegaran a algún límite, no podrían variar. Una función en un límite debería ser como una constante, pues el límite debería prevenir variaciones posteriores. Por lo tanto, si una variable o una función continúa variando bajo diferentes circunstancias, puedes estar seguro de que no está en el límite o en cero. Es sólo que depende en una variable que sí lo está.

Si AB y AD tienen valores reales en el límite, entonces deberíamos ser capaces de calcular esos valores. Si podemos hacer esto le habremos dado un valor al "infinitesimal". De hecho, lo hacemos todo el rato. Cada vez que hallamos el valor de una derivada, le damos un valor real al infinitesimal. Cuando hallamos una velocidad "instantánea" en cualquier punto de la circunferencia, le hemos dado un valor al infinitesimal. Recuerda que la tangente en cualquier punto de la circunferencia representa a la velocidad. Esa línea se entiende que es un vector cuya longitud es el valor numérico de la velocidad tangencial. Se dibuja habitualmente con una longitud reconocible para hacer que la ilustración sea legible, pero si es una velocidad instantánea, la longitud real del vector debe ser muy pequeña. Muy pequeña, pero no cero, pues realmente hemos hallado una solución no nula de la derivada. La derivada expresa la tangente, así que si la derivada no es nula, la tangente debe ser no nula también.

Algunos han dicho que como hallamos valores considerables para la velocidad tangencial, ese vector no puede ser muy pequeño. Si hallamos que la velocidad en ese punto es 5m/s, por ejemplo, entonces ¿El vector velocidad no debería tener una longitud de 5? No, pues por la manera en que se dibuja y se define el diagrama, hacemos que la longitud represente a una velocidad. Estamos haciendo que x represente a v. La variable t no es parte del diagrama. Está implícita. Se ignora. Si hacemos que B se acerque a A, estamos haciendo que t se haga más pequeño. Una velocidad de 5 sólo significa que la distancia es 5 veces mayor que el tiempo. Si el tiempo es muy pequeño, la distancia también debe serla.



Traducción de Roberto Conde