09 octubre, 2013

Una refutación de los lemas fundamentales de Newton (II)

Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Miles Mathis.



Parte segunda y última. (Viene de la primera parte)


Hay otra manera de analizar el problema de Newton, y puede ser la más interesante de todas (para algunos). En los Principia, el lenguaje de Newton al describir este problema (Lema VI) es este: "si los puntos A y B se acercan uno al otro..." Dos cosas merecen nuestra atención aquí. Una, A no puede acercarse a B sin deshacer la geometría. Si emprezamos a mover el punto A, destruímos nuestro ángulo rectángulo. Lo que quiere decir es lo que dije arriba: Que B se acercque a A. Para ser rigurosos, deberíamos hacer que un punto permanezca estático y hacer que el otro punto se mueva. Si dejamos que ambos se muevan, creamos problemas innecesarios. La otra cosa que merece atención es la palabra "acercan". Newton está postulando movimiento. Como confirmación de esto, sólo tenemos que mirar el título de esta sección: "De la Filosofía Natural". La filosofía natural no es matemáticas puras, es física. Newton está describiendo una filosofía o estudio de la naturaleza, lo que ahora nosotros llamamos física. La naturaleza no es pura, es física. Por lo tanto este lema debe ser parte de lo que llamamos matemáticas aplicadas. Si esto es así, entonces el tiempo debe estar involucrado. Como afirmaba arriba, Newton está estudiando un intervalo decreciente para analizar el movimiento curvo. Usa este análisis inmediatamente después para aplicarlo a una órbita, por ejemplo. Así que tanto el movimiento como el tiempo están involucrados en el análisis de Newton. Sólo por esta razón, su ángulo BAD no puede desaparecer. Eso sería llevar el problema a un intervalo de tiempo cero, y no existe tal cosa como un intervalo de tiempo cero en física. No puedes estudiar el movimiento y luego postular un intervalo de tiempo cero, pues el movimiento está definido por un intervalo de tiempo no nulo. Si tienes un intervalo de tiempo cero, no tienes movimiento, por definición. Simplemente por usar la palabra "acercarse", Newton ha descartado un intervalo de tiempo cero. Su intervalo se puede hacer más y más pequeño, hasta el punto que quiera, pero no puede desaparecer. Por definición, "acercarse" y "desaparecer" se excluyen mutuamente.

Pero se pone incluso más interesante. Usando sólo el concepto del límite, este problema no se puede resolver en absoluto. Es decir, si hacemos que nuestro ángulo en R sea θ, entonces BAD = θ/2 y ABD = π/2 + θ/2.



Si hacemos que θ tienda a cero, entonces BAD y ABD se acercan al límite del mismo modo. El concepto de límite no apoya este análisis. No, apoya el análisis de Newton, pues históricamente surgió de su análisis. El concepto de límite fracasa al explicar por qué hallamos soluciones no nulas en el límite tanto para la cuerda como para la tangente, y fracasa porque su análisis es defectuoso del mismo modo en que he mostrado que el de Newton lo es. El análisis del límite trata el problema completo como un problema abstracto o de matemáticas puras, pero es un problema físico. Aquí están involucrados el movimiento y el tiempo. Lo que quiere decir que debemos tener necesariamente una separación temporal entre A y B. Como tenemos movimiento, no podemos tener un intervalo cero. Si no tenemos un intervalo cero, entonces debemos tener una separación temporal. Dicho de este modo, llegamos a... sí, la Relatividad. Si este es un problema físico, entonces A y B no pueden existir al mismo tiempo, operacionalmente. Un evento en B no puede ser exactamente igual que el mismo evento visto desde A. Si pensamos en la medición de un ángulo como un evento físico en lugar de una cantidad geométrica abstracta, los ángulos en un diagrama como este se deben analizar desde un punto de vista físico.

Algunos pensarán que estoy complicando el problema más de lo necesario, o inventándome soluciones esotéricas, pero considera este hecho: los estudios gravitatorios de Newton y sus proporcionalidades salieron de este libro, los Principia, de hecho de esta misma sección. ¿No es extraño que las correcciones de la Relatividad de Einstein se hayan aplicado a la gravedad, pero no a la órbita? El diagrama de arriba es un estudio preliminar de la órbita, y sientan las bases de a=v²/r, y nunca se han beneficiado de un análisis relativista hasta ahora. Creemos que la gravedad provoca la órbita, y aún así hacemos un análisis relativista de la gravedad pero no de la órbita. Muy extraño.

El modo en que la Relatividad soluciona este problema de una vez por todas es que nos proporciona una forma de separar θ/2 en B de θ/2 en A. De acuerdo con el análisis del límite, ambos ángulos disminuyen del mismo modo. Pero como están separados espacialmente, no pueden actuar del mismo modo. De acuerdo con la Relatividad, debemos elegir un punto y medirlo todo desde ahí. Debemos estudiar el problema desde A o desde B, no podemos estudiar el problema desde ambos lugares a la vez. Dado que hemos atribuido el movimiento al punto B, debemos hacer que ese sea nuestro lugar de medida. En otras palabras, en este problema, existimos en B. El evento está en B. Hagamos que ese evento sea π/2 + θ/2 tendiendo al límite. θ tiende a cero, así que ABD tiende a 90º. Por supuesto, BAD también tiende a cero, pero hay un retraso temporal. Visto o medido desde B, la información de A debe llegar tarde, o al revés. Por lo tanto, medido desde B, el límite en B debe alcanzarse antes del límite en A. O, dado que he mostrado que los límites nunca se alcanzan de ningún modo, especialmente cuando esos límites están en cero, sería más riguroso decir que θ/2 es más pequeño en B, medido desde B, que θ/2 en A. Dada la separación temporal, los ángulos iguales no son tan iguales.

Por supuesto, a mucha gente no lo gustará este análisis. Algunos lo encontrarán fascinante y a otros le parecerán paparruchas. Francamente, yo mismo prefiero el análisis simple: no podemos proponer un intervalo de tiempo cero, por lo que los ángulos pueden desaparecer, por lo que los segmentos no pueden igualarse. No importa cómo de pequeños sean, para hablar de movimiento tenemos que tener un intervalo de tiempo real. Siempre y cuando tengamos un intervalo de tiempo real, tenemos un triángulo. Siempre y cuando tengamos un triángulo, tenemos una tangente mayor que la cuerda. Nos "acercamos" al límite, no "alcanzamos" el límite. Dicho esto, creo que el análisis relativista también es correcto. Cada análisis llega a la respuesta correcta, usando ideas que son físicamente correctas y físicamente reales. Para ser consistentes, si aplicamos separaciones temporales al campo gravitatorio, debemos aplicárselas también a la órbita. La gravedad no puede causar físicamente la órbita, si aplicas Relatividad a la gravedad y no a la órbita. Como toda la sección del libro de Newton en cuestión aquí es física, debemos aplicarle la Relatividad a toda ella, o a ninguna. Einstein actualizó el análisis de Newton de la gravedad, y yo acabo de hacer lo mismo para la órbita.

Conclusión


Mi descubrimiento en este artículo afecta a muchas cosas, tanto en matemáticas puras como en matemáticas aplicadas. He demostrado, de forma muy directa, que cuando aplicamos el cálculo a una curva, las variables o funciones no tienden a cero o a la igualdad en el límite. Esto debe tener consecuencias tanto para la Relatividad General, que es cálculo tensorial aplicado a áreas muy pequeñas de espacio curvo, como para la Electrodinámica Cuántica(QED), que aplica el cálculo de muchas formas, incluyendo órbitas cuánticas y acoplamiento cuántico. La QED se ha encontrado con muchos problemas precisamente cuando intenta llevar a las variables a cero, necesitando la renormalización. Mi análisis implica que las variables no tienden físicamente a cero, así que la premisa de regresión infinita no es más que un error de concepto. El límite matemático de las variables calculables—ya sea en física cuántica o clásica—nunca es cero. Sólo una de un conjunto de variables tiende a cero o a un límite de tipo cero (como el ángulo de 90º). Las otras variables son no nulas en el límite. Para la QED, esto significa que cuando se alcanza el límite de Planck, los límites de tiempo y longitud también se han alcanzado. Ni las variables temporales ni las espaciales pueden tender a cero cuando se usan en las ecuaciones de momento o energía de la QED. De hecho, más allá de la lógica que he usado aquí, es una contradicción asumir que los valores de la energía no tengan una regresión continua e infinita hacia cero, pero los valores de la longitud y de tiempo sí.

Esto no quiere decir que el tiempo y el espacio estén cuantizados; sólo quiere decir que en las situaciones en las que empíricamente la energía se encuentra cuantizada, se debería esperar que las otras variables también lleguen a un límite por encima de cero. Las ecuaciones cuantizadas deben proporcionar variables cuantizadas. El espacio y el tiempo bien podrían ser continuos, pero nuestros hallazgos—nuestras mediciones o cálculos—no pueden serlo. Es decir, podemos imaginar encogernos y usar pequeñas reglas para demarcar pequeñas sub-áreas cuánticas. Pero no podemos calcular sub-áreas cuánticas cuando una de nuestras variables principales—la energía—llega a un límite por encima de esas sub-áreas, ni cuando todos nuestros datos llegan a ese mismo límite. La única manera en la que podemos acceder a esas sub-áreas con las variables que tenemos es si encontráramos un cuanto más pequeño.

Como he dicho, también ha habido confusión respecto a este punto en el cálculo tensorial. En la sección 8 del artículo de Einstein sobre Relatividad General, le da un volumen a un conjunto de coordenadas que identifican un punto o evento. Le llama al volumen de este punto el volumen "natural", aunque no nos dice que tiene de "natural" que un punto tenga un volumen. La Relatividad General empieza [sección 4] postulando un punto y un tiempo en el espacio dado por las coordenadas dX1, dX2, dX3, dX4. Este conjunto de coordenadas identifica un evento, pero todavía se entiende que es un punto en un instante. Esto está claro pues directamente después otro conjunto de funciones se da en la forma dx1, dx2, dx3, dx4  Esas, se nos dice, son "diferenciales definidas" entre "dos eventos puntuales infinitamente próximos". El volumen de esos diferenciales se proporciona en la ecuación 18 como:

dτ = ∫dx1dx2dx3dx4

Pero también se nos proporciona el volumen "natural" dτ0, que es el "voluemn dX1, dX2, dX3, dX4". Este volumen natural se nos proporciona en la ecuación 18a:


      But we are also given the “ natural” volume dτ0, which is the "volume dX1, dX2, dX3, dX4". This natural volume gives us the equation 18a:
dτ0 = √-g

Luego Einstein dice, "Si √-g fuera a desaparecer en un punto del continuo tetradimensional, significaría que en ese punto, un volumen 'natural' infinitamente pequeño se correspondería con un volumen finito en las coordenadas. Asumamos que este nunca es el caso. Entonces g no puede cambiar de signo...Siempre tiene un valor finito."

De acuerdo con mi refutación de arriba, todo esto debe ser un uso inadecuado del cálculo, un uso que no se ha mejorado en absoluto al importar los tensores al problema. En ningún tipo de cálculo se le puede dar un volumen a un conjunto de funciones que definen un evento puntual—ni natural, ni antinatural, no de otro tipo. Si dX1, dX2, dX3, dX4 es un evento puntual en el espacio, entonces no puede tener volumen, y la ecuación 18a y todo lo que la rodea es una entelequia.

En el análisis final esto se debe simplemente a la definición de "evento". Un evento debe definirse por algún movimiento. Si no hay movimiento, no hay evento. Todo movimiento requiere un intervalo. Incluso un no-evento como un cuanto perfectamente estático implica movimiento en el campo tetravectorial, pues el tiempo debe pasar. El no-evento tendrá un intervalo de tiempo. Estar en reposo requiere un intervalo de tiempo y el movimiento requiere intervalos tanto de tiempo como de espacio. Por lo tanto el evento se determina completamente con intervalos. No coordenadas, intervalos. El punto y el instante no son eventos. Sólo son fronteras, fronteras que son imposibles de dibujar con precisión absoluta. El instante y el punto son el principio y el final de un intervalo, pero son abstracciones y estimaciones, no entidades físicas ni coordenadas espaciales precisas.

Algunos contestarán que acabe de disculpar a Einstein, salvándolo de mi propia crítica. Después de todo, le da un intervalo teórico al punto. La misma función dX está en forma diferencial, lo que le daría una posible extensión. Puede llamarla un punto, pero la viste de diferencial. Cierto, pero no le permite actuar como un diferencial, como acabo de mostrar. Le impide que corresponda a (parte de) un volumen finito, pues eso arruinaría sus matemáticas. No permite que √-g desaparezca, lo que impide que el volumen "natural" invada el espacio curvo.

Las nuevas versiones de este mismo espacio de Riemman no han resuelto esta confusión, lo que es una de las razones principales de que la Relatividad General todavía se resista a ser incorporada en la QED. Los físicos contemporáneos todavía creen en el evento puntual, en el punto como entidad física (véase la singularidad) y en la realidad del instante. Todas esas falsas nociones se remontan a una mala comprensión del cálculo. Los fundamentos "más rigurosos" de Cauchy, usando el límite, la función, y la derivada, deberían haber aclarado esta confusión, pero sólo la enterraron. Se asumió que el problema estaba resuelto al haberlo puesto completamente fuera de vista. Pero no fue resuelto. Se hace un mal uso del cálculo de forma rutinaria en aspectos fundamentales hasta el día de hoy, incluso (y especialmente, debería decir) en los campos de estudio más avanzados y por los nombres más importantes.



Traducción de Roberto Conde