23 mayo, 2014

La paradoja del infinito de Galileo





Atención: Esto es una traducción de Roberto Conde de un artículo de Kevin Delaney.

La historia moderna del infinito empieza con Galileo. Galileo descubrió algo interesante acerca de los conjuntos no acotados. Descubrió que si asignabas una correspondencia entre dos conjuntos de este tipo (en este caso nos centraremos en los números naturales positivos y los números pares positivos), no te quedarás sin elementos del primer conjunto antes de quedarte sin elementos del segundo. Los matemáticos se refieren a esto como una correspondencia uno a uno (1-1). Aquí está la correspondencia entre los números naturales y los números pares:

1    2    3   4   5    6     7   . . .   n
2    4    6   8  10   12   14  . . . 2*n

Esta correspondencia 1-1 parece implicar que el conjunto de los números naturales tiene el mismo tamaño que el conjunto de los números pares aunque el conjunto de los números pares es un subconjunto estricto de los números naturales.

Galileo se refirió a esto como una paradoja. El matemático húngaro Bernard Balzano (1781-1848) estaba interesado en la naturaleza del espacio y el tiempo. Pensaba que ésta era la naturaleza fundamental del infinito. Téngase en cuenta que muchos textos definen actualmente un conjunto infinito como uno que se encuentra en correspondencia 1-1 con un subconjunto estricto de sí mismo.

Yo mantengo que la visión tradicional de Galileo es una paradoja real. La razón de que exista esta paradoja es que hay dos formas posibles de crear el conjunto de los números pares a partir del conjunto de los números naturales. Por el bien de la demostración, llamaré a estos el método directo y el método natural.

  • En el método directo, multplicas cada número natural por dos. 
  • En el método natural, eliminas los números impares. 
La diferencia entre estos dos métodos se ve fácilmente cuando trabajas con conjuntos finitos.

Multiplicar los primeros n números naturales por 2 produce un conjunto de números pares. Este conjunto creado por correspondencia directa tendrá n miembros—al igual que nuestro conjunto original. El miembro más grande del conjunto es 2*n. Por favor, ten en cuenta que la mitad de los números de nuestro nuevo conjunto es mayor o igual a n.

El conjunto creado al quitar los impares tendrá n/2 o (n-1)/2 miembros (dependiendo de si n es par o impar). El miembro más grande del nuevo conjunto es n o n-1. No hay miembros en ese nuevo conjunto que tengan un valor mayor que n.

Los dos métodos crean conjuntos diferentes con características diferentes.

1   2   3   4    5    6     7     . . . n
     2        4          6           . . . n/2 ó (n-1)/2 si n es impar

El conjunto de las mitades

El conjunto de las mitades es un poco diferente del conjunto de los pares, porque los enteros son un subconjunto de las mitades. La correspondencia directa (dividir por 2) se vería tal que así:

1      2    3     4     5    ... n
1/2  1   3/2   2   5/2  ... n/2

La correspondencia directa produce un conjunto que tiene el mismo tamaño que los números naturales, pero cuyo miembro más grande es n/2. Como los enteros son un subconjunto estricto del conjunto de las mitades, la correspondencia natural sería al revés que con los pares:

1/2    1    3/2    2    5/2  ...
         1              2            ...

El tamaño de los enteros es justo la mitad del tamaño del conjunto de las mitades. El valor más grande de los enteros es trunc(n/2) donde trunc devuelve el mayor entero menor que un valor dado. El infinito se pone complicado porque puede haber más de una manera de hacer la correspondencia entre dos conjuntos. Cada correspondencia puede tener diferentes características.

Conjuntos infinitos

Cuando contemplamos los conjuntos finitos, está claro que el método usado para crear el conjunto afecta a las características del conjunto. Contemplando conjuntos infinitos, la distinción se vuelve pantanosa, por lo tanto hay una paradoja. Si yo digo "toma el conjunto de todos los números naturales pares" creo una paradoja porque no he especificado qué correspondencia he usado para construir el conjunto.

Intuitivamente, cuando un conjunto B es un subconjunto de A, tiendo a pensar en correspondencia natural. La gente a la que se le dice que se aborde la teoría pensando primero en relaciones 1-1 suele considerar la correspondencia directa como la adecuada.

Una de mis discordancias con el método actual de tratar el infinito es que los teóricos transfinitos suelen rechazar la existencia de la correspondencia natural, y sostienen que la correspondencia directa es un nivel mayor de pensamiento que la insignificante correspondencia natural.

Dualidad onda corpúsculo

Yo sostengo que la paradoja de Galileo es una paradoja real, y que no hay una resolución fácil para la paradoja porque ambas correspondencias son válidas. Más aún, yo sostengo que los conjuntos infinitos se comportarán de forma muy parecida a la infame dualidad onda corpúsculo de la luz. Los experimentos diseñados para demostrar que la luz es una onda, demuestran que la luz es una onda. Los experimentos diseñados para demostrar que la luz es una partícula, demuestran que la luz es una partícula. Los experimentos diseñados asumiendo que el conjunto de los números pares se construyen por correspondencia directa demostrarán que se construyen de esa forma. Los diseñados asumiendo con se construyen por correspondencia natural, también demostrarán que se construyen así.

Es físicamente imposible crear un conjunto infinito. Sólo podemos explorar el concepto de infinito con herramientas finitas que examinen el objeto de estudio. Al crear esas herramientas, debemos tener mucho cuidado de no confundir las características de nuestras herramientas con las características del objeto de estudio. Limitarnos a las relaciones 1-1 empobrecerá nuestra visión del infinito, pues las relaciones 1-1 conllevan la premisa oculta de la correspondencia directa.

Cuando se nos da el conjunto de los números pares, no sabemos el mecanismo usado para crear el conjunto. Las herramientas que usemos sobre el conjunto impondrán su punto de vista. Cambios sutiles en la manera en que abordamos una secuencia infinita podrían tener resultados dramáticos e inesperados.

Los conjuntos infinitos parecen verse afectados por cambios muy pequeños en la manera en que se construyen. Miremos brevemente la suma de la secuencia [1, -1, 1, -1, 1 ... ]. Esta serie repite el patrón 1, -1 de forma indefinida. Dependiendo de cómo hagamos la suma, tenemos diferentes resultados. Atacar el problema de izquierda a derecha nos da un resultado que fluctúa entre 0 y 1. Agrupar los problemas usando la propiedad conmutativa de la suma nos da diferentes resultados dependiendo de cómo agrupemos los números:


(1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1)       = 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1)  = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1

La propiedad conmutativa no parece mantenerse en los conjuntos infinitos. Cuando hacemos la división larga de 1/(1 + x) o de 1/(x + 1) también obtenemos diferentes resultados. Las siguientes dos demostraciones muestran la división larga de las dos funciones.

Aunque sean esencialmente la misma función, cuando se expande en términos infinitos dan resultados diferentes. Usaré "^" como símbolo de "elevado a". Es decir, x^-1 = 1/x :

              1 - x + x^2 - x^3 ...
    1 + x ) 1
            1  +  x
                 -x 
                 -x - x^2
                      x^2
                      x^2 - x^3
                           -x^3 ...

                x^-1 - x^-2 + x^-3 ...
    x + 1 ) 1
            1 + x^-1
               -x^-1 
               -x^-1 - x^-2
                       x^-2
                       x^-2 + x^-3
                              x^-3 ...

Simplemente cambiando la manera en que construimos la expansión infinita, cambia el resultado de la expansión. Haciendo x = 2 vemos que la expansión infinita de 1/(1 + x) nos da (1 - 2 + 4 - 8 + ...). Esa suma diverge. Mientras que 1/(x + 1) = (1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ... ) que converge a 1/3.

Se me dijo en la escuela que 1/(1 + x) = 1/(x + 1); sin embargo, cuando uso las diferentes funciones como base para una expansión infinita, obtengo resultados radicalmente diferentes. Uno diverge para x = 2 y el otro converge. Si no es bastante raro, la serie que diverge para x = 2 converge para x = 1/2. En cualquier caso, el valor de las sumas infinitas parece verse afectado por la forma en que las construimos. Eso significa que es difícil distinguir una propiedad del infinito de las herramientas usadas para investigar el infinito.

El ejemplo del hotel infinito se da a menudo como demostración de que n = n + 1 para n = ∞. Sin embargo, tan pronto como intentas observar la construcción del hotel infinito, descubrirás que no hay manera de meter n + 1 cosas en n casillas. Véase el hotel infinito[por traducir].

Del mismo modo que la paradoja del mentiroso es una paradoja real, la paradoja del infinito de Galileo es una paradoja real. Desafortunadamente, las conversaciones de Galileo entre el sabio renacentista Salviati y el tonto Simplicio alimentaron la nocin de que haba una clase más elevada de pensador que podía comprehender el infinito en su totalidad. Los siglos XX y XXI estan llenos de estas criaturas que sienten que estan en el amanecer de una nueva consciencia trascendental, y esa cultura se está preparando para digievolucionar al siguiente nivel de existencia.

Como conjuntos infinitos, todos comparten la característica común de ser no acotados. Para la época en la que Georg Cantor apareció en escena, un gran número de gente había adquirido la opinión de que todos los conjuntos infinitos tenían el mismo tamaño. Peor aún, algunos concluyeron que la correspondencia natural era símplemente un defecto de la fallida intuición humana.


Los intelectuales alemanes, siguiendo el "idealismo trascendental" de Kant, deseaban encontrar maneras de refutar el sentido común y la intuición en favor de una nueva lógica de un nuevo género de reyes filósofos. Así que mientras la humanidad daba grandes pasos adelante con el nuevo método científico y otros derivados de la lógica aristotélica, la paradoja de Galileo iba a llevar a un gran paso atrás cuando los dialécticos de la tradición idealista alemana la retorcieran.

Desde aquí tienes dos opciones. Si quieres puedes ir directamente a la refutación del método diagonal[por traducir], o aprender cómo el método diagonal fue uno de una docena de teorías con fallos en ellas, basadas en la lógica oposicional. El sentido principal del siguiente artículo sobre dialéctica
[por traducir] es simplemente discutir las diferentes teorías oposicionales que brotaron en Europa y que llevaron a los grandes campos de concentración en Alemania y Rusia. Mientras que las teorías oposicionales aparecieron para crear el paraiso para algunos, crearon un infierno para la humanidad en su conjunto.

Traducción de Roberto Conde.
Artículo original aquí.